Методические указания, контрольные работы по дисциплине "Математический анализ" (1 семестр). Мустафина Д.А - 35 стр.

            6.        Вычислить         интегралы                 или          установить            их   расходимость:
     +∞                                      5
                          dx                              dx
а)
        ∫ (4 + x )⋅ arctg⎛⎜ x ⎞⎟ ∫
        2
                      2
                                      , б)
                                             2
                                                      2
                                                     x − 5x + 6
                                                                       .

                          ⎝2⎠
            Решение.
            а) Дан несобственный интеграл первого рода (интеграл с бесконечным
                                                                               b              +∞

пределом). Вычисляем по определению lim
                                                                      b → +∞   ∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx .
                                                                               a                 a
                                                                                    ⎛ x⎞
                                                                              arctg ⎜ ⎟ = t
                                                                                    ⎝2⎠
                                                                              1      dx
                                                                                ⋅         2
                                                                                            = dt
                                                                              2      ⎛ ⎞
                                                                                       x
                                                                                  1+ ⎜ ⎟
                                                                                     ⎝2⎠
+∞                                               b
                      dx                                       dx               dx       dt
∫ (4 + x )⋅ arctg⎛⎜ x ⎞⎟ = lim ∫ (4 + x )
 2
                 2                    b → +∞
                                                 2
                                                           2
                                                               ⋅ arctg ⎜ ⎟
                                                                            =
                                                                       ⎛ x ⎞ 4 + x2 2
                                                                                      =                 =

                  ⎝2⎠                                                  ⎝2⎠                            π
                                                                              x = 2 ⇒ t = arctg (1) =
                                                                                                      4
                                                                                                 ⎛b⎞
                                                                              x = b ⇒ t = arctg ⎜ ⎟
                                                                                                 ⎝2⎠


                           ⎛b⎞                              ⎛b⎞
                     arctg ⎜ ⎟                        arctg ⎜ ⎟
                           ⎝2⎠                              ⎝2⎠
     1                           dt 1                                 1       ⎛          ⎛b⎞      π        ⎞
=       lim
     2 b→ +∞              ∫
                          π
                                   = lim ln t
                                 t 2 b→+∞             π
                                                      4
                                                                  =      lim ⎜⎜ ln arctg ⎜ ⎟ − ln
                                                                      2 b→ +∞⎝           ⎝2⎠      4
                                                                                                           ⎟⎟ =
                                                                                                            ⎠
                          4
     1⎛ π      π⎞ 1
=     ⎜ ln − ln ⎟ = ln 2 - интеграл сходится.
     2⎝ 2      4⎠ 2

            б) Дан несобственный интеграл второго рода (интеграл от разрывной
                                                                  b                          b

функции). Вычисляем по определению
                                                                  ∫ f ( x)dx = lim ∫ f ( x)dx .
                                                                  a
                                                                                     ε →0
                                                                                            a +ε
      Найдем точки, в которых подынтегральная функция терпит разрыв:
    2
x − 5 x + 6 = 0 , x1 = 2 , x 2 = 3 и обе точки принадлежат отрезку интегрирова-
ния [2; 5]. Тогда




                                                                  35