Методические указания, контрольные работы по дисциплине "Математический анализ" (1 семестр). Мустафина Д.А - 37 стр.

         б) Функция задана в параметрическом виде, для вычисления длины дуги
                                                β
кривой используем формулу l =
                                                ∫
                                                α
                                                         (x ′) + ( y ′)2 dt .
Найдём x ′ = 3,5(− 2 sin t + 2 sin( 2t ) ) = 7(sin (2t ) − sin t ) и
y ′ = 3,5(2 cos t − 2 cos( 2t ) ) = 7(cos(2t ) − cos t ) .
(x′)2 + ( y′)2 = 49(sin 2 (2t ) − 2 sin t sin(2t ) + sin 2 (t ) + cos 2 (2t ) − 2 cos t cos(2t ) + cos 2 (t )) =

                                                                           ⎛t⎞
= 49(2 − 2(sin t sin (2t ) + cos t cos(2t ))) = 98(1 − cos t ) = 196 sin 2 ⎜ ⎟ .
                                                                           ⎝2⎠
                                                       ⎛t⎞
   π                          π                    cos⎜ ⎟ π
                ⎛t⎞                 ⎛t⎞                ⎝2⎠                  ⎛ t ⎞π
l=
   0
     ∫          ⎝2⎠
                               0
                                  ∫
      196 sin 2 ⎜ ⎟dt = 14 sin ⎜ ⎟dt = −14
                                    ⎝2⎠                1
                                                              0
                                                                 = −28 cos⎜ ⎟ = 28 (ед) .
                                                                            ⎝2⎠0
                                                       2
      в) Функция задана в полярных координатах, для вычисления длины дуги
                                                β
кривой используем формулу l =
                                                ∫
                                                α
                                                         (r ′)2 + (r )2 dϕ .

(r ′)2                                                    (
         + r 2 = (8 cos ϕ )2 + (8 sin ϕ )2 = 64 cos 2 ϕ + sin 2 ϕ = 64 .        )
     π               π
     4               4            π
                                            π
l=
     ∫
     0
                     ∫
          64dϕ = 8 dϕ =8ϕ
                     0
                                  4
                                  0
                                      =8⋅
                                            4
                                                = 2π (ед ) .


     8. Найти объём тела, полученного при вращении вокруг оси Ох фи-
                                       x2
гуры, ограниченной линиями y = 0 , y =    , 2 x + 7 y − 18 = 0 .
                                       2
     Решение.
                                          Из          системы    уравнений
      y                                   ⎧     x2
            y=x 2                         ⎪y =      ,
                                          ⎨      2             ⇒
       2
                                          ⎪2 x + 7 y − 18 = 0
                                          ⎩
                                                     x
                 2                                                     7 x 2 + 4 x − 36 = 0 , получим
                                      9             2x-7y-18=0                                  18      162
                                                                       x1 = 2, y1 = 4 , x 2 = − , y 2 =     .
                                                                                                 7       49

                         Рис. 4




                                                              37