Методические указания, контрольные работы по дисциплине "Математический анализ" (1 семестр). Мустафина Д.А - 38 стр.

      Как видно из рис. 4, объём тела вращения равен сумме двух объёмов, об-
разованных вращением вокруг оси Ох криволинейной трапеции.
            2        2           2                                  2
        ⎛ x2        ⎞          x 4
                                       π  x 5
                                                                             8π
V1 = π ⎜⎜
      0⎝
          2 ∫       ⎟ dx = π
                    ⎟
                    ⎠        0
                                4∫ dx = ⋅
                                       4 5                          0   =
                                                                              5
                                                                                .


            9                2           9                                              3⎞ 9
                                ⎛ 324 − 144 x + 4 x 2 ⎞       π   ⎛
       ⎛ 18 − 2 x ⎞                                               ⎜ 324 − 72 x + 4 ⎟ 2 = 28π .
                                                                                      x
            ∫                   ⎜
                                         ∫            ⎟dx =                    2
V2 = π ⎜          ⎟ dx = π      ⎜                     ⎟
       ⎝ 7 ⎠                              49                 49 ⎜⎝                     3 ⎟⎠  3
       2                      2⎝                      ⎠
                8π 28π 168π
V = V1 + V 2 =      +        =        (куб. ед) .
                 5       3        15
      9. Показать, что функция z = y ⋅ ln 2 x 2 − 7 y 2 удовлетворяет уравне-    (               )
     7 ∂z 2 ∂z 2 z
нию ⋅ + ⋅              =      .
     x ∂x y ∂y y 2
      Решение. Найдём частные производные
∂z
∂x
        (       (          /
   = y ⋅ ln 2 x 2 − 7 y 2 x = y 2))     1
                                                2 x 2
                                                       − 7 y 2 /
                                                                x  =    ( 4 xy
                                                                                    ,    )
                                   2x − 7 y 2                         2x 2 − 7 y 2
∂z
∂y
        (       (          /
                                 ))          (
   = y ⋅ ln 2 x 2 − 7 y 2 x = ln 2 x 2 − 7 y 2 + y 2
                                                             1
                                                                       2)x 2
                                                                             − 7 y 2 /
                                                                                      y =        (                )
                                                       2x − 7 y 2

    (       2
= ln 2 x − 7 y       2
                         )+ y        2
                                         1
                                                 2
                                                     (2 x   2
                                                                −
                                                                        /
                                                                    7y2 y    )       (       2
                                                                                 = ln 2 x − 7 y      2
                                                                                                         )−   14 y 2
                                                                                                              2        2
                                                                                                                           .
                   2x − 7 y                                2x − 7 y
     Полученные производные подставим в данное уравнение
7
  ⋅
       4 xy     2 ⎛⎜     2     2
               + ⋅ ln 2 x − 7 y − 2  (        =            )
                                   14 y 2 ⎞⎟ 2 y ln 2 x 2 − 7 y 2
                                                                  .
                                                                                                 (                )
x 2 x 2 − 7 y 2 y ⎜⎝                      2 ⎟
                                 2x − 7 y ⎠           y 2

    28 y
             +
                             (
               2 ln 2 x 2 − 7 y 2
                                  − 2
                                     28 y    )=
                                                2 ln 2 x 2 − 7 y 2
                                                                   .
                                                                                     (                   )
2x 2 − 7 y 2            y          2x − 7 y 2            y
    (
2 ln 2 x 2 − 7 y 2
                   =
                         )       (
                     2 ln 2 x 2 − 7 y 2                )
                                        , что и требовалось показать.
         y                    y

       10. Найти наибольшее и наименьшее значения                                                                          функции
z = 4 x 2 + y 2 − 28 x − 2 y + 53 в области, заданной неравенствами:
x ≥ 0 ; 2x − 7 y ≤ 0 ; x + y − 9 ≤ 0 .




                                                                            38