Методические указания, контрольные работы по дисциплине "Математический анализ" (1 семестр). Мустафина Д.А - 40 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВПИ ВолгГТУ | Волжский

Составители: 

Рубрика: 

40
11. Изменить порядок интегрирования
∫∫
+
1
0
2
2
);(
y
y
dxyxfdy
.
Решение.
Строим область интегрирования D по пределам интегрирова-
ния: ,0=y = ,1=y ,2y
x
= .2
+
=
y
x
Сверху область интегрирования D (рис.6)
ограничена кривой
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
≤≤
≤≤
=
,321
,20
2
xпри
xпри
x
y
а снизу кривой
⎩
⎨
⎧
≤≤−
≤≤
=
.322
,200
xприx
xпри
y
Рис. 6
∫∫
+
=
1
0
2
2
);(
y
y
dxyxfdy
∫∫ ∫ ∫
−
+
2
0
2
0
3
2
1
2
);();(
x
x
dyyxfdxdyyxfdx .
12. Построить схематический чертёж и найти площадь фигуры огра-
ниченной линиями: а)
0=y ,
2
xy = , 124
+
−
=
x
y ;
б)
02
22
=+− xyy
,
010
22
=+− xyy
,
3
x
y =
, 0
=
x
.
Решение.
а) I способ. Найдем точки пересечения
графиков
⎩
⎨
⎧
+−=
=
,124
,
2
xy
xy
⇒ 0124
2
=
−
+
x
x
.
Решая квадратное уравнение получаем
2
1
=
x
,
6
2
−
=
x
.
Рис.7
0
2
3
x
y
1
y=x/2
y=x-2
D
1
D
2
3
2
x
y=x
2
y
4
1
y
=-4x+12
S
1
S
2
0
                                                                 1    y+2

      11. Изменить порядок интегрирования
                                                                 ∫ dy ∫ f ( x; y)dx .
                                                                 0    2y
       Решение. Строим область интегрирования D по пределам интегрирова-
ния: y = 0, = y = 1, x = 2 y, x = y + 2. Сверху область интегрирования D (рис.6)
                                    ⎧x
                                    ⎪ при 0 ≤ x ≤ 2,
ограничена        кривой        y = ⎨2                   а     снизу     кривой
                                    ⎪⎩1 при 2 ≤ x ≤ 3 ,
    ⎧0 при 0 ≤ x ≤ 2,
y=⎨
    ⎩ x − 2 при 2 ≤ x ≤ 3 .
                                   y
                                                         y=x/2
                                                                      y=x-2

                              1
                                             D2
                                       D1                              x

                               0            2        3


                                            Рис. 6
                                   x
       1       y+2            2    2                 3      1

       ∫ dy ∫ f ( x; y)dx = ∫ dx∫ f ( x; y)dy + ∫ dx ∫ f ( x; y)dy .
       0       2y             0    0                 2     x−2


     12. Построить схематический чертёж и найти площадь фигуры огра-
ниченной линиями: а) y = 0 , y = x 2 , y = −4 x + 12 ;
                                                           x
     б) y 2 − 2 y + x 2 = 0 , y 2 − 10 y + x 2 = 0 , y =      , x = 0.
                                                            3
     Решение.
                                            а) I способ. Найдем точки пересечения
                     2
      y          y=x                                ⎧y = x2 ,
       4                             графиков ⎨                        ⇒ x 2 + 4 x − 12 = 0 .
                                                    ⎩ y = −4 x + 12,
       1                             Решая квадратное уравнение получаем
             S1 S2               x x = 2 , x = −6 .
                                      1         2
           0         2   3 y=-4x+12

               Рис.7




                                                40

Страницы