Методические указания, контрольные работы по дисциплине "Математический анализ" (1 семестр). Мустафина Д.А - 41 стр.

     Из рис.7 видно, что площадь равна сумме площадей криволинейных тра-
пеций.
                            2               3                                      2                      3
                                                          x3
         S = S1 + S 2 =
                            ∫               ∫
                                  x dx + (− 4 x + 12)dx =
                                   2
                                                                                  0+       (− 2 x + 12 x ) 2 = 14 (кв. ед) .
                                                          3                                                    3
                            0               2
         II способ. Площадь можно найти через двойной интеграл.
                         12 − y
                 4         4            4           12 − y           4
                                                               ⎛ 12 − y                       ⎞
S=
     ∫∫
     D
                 ∫ ∫
          dxdy = dy
                 0          y
                                       ∫
                                dx = dy ⋅ x
                                        0
                                                      4

                                                      y
                                                             = ⎜
                                                               ⎝ 4   ∫
                                                                     0
                                                                        −                   y ⎟dy =
                                                                                              ⎠
  ⎛ 1 ⎛ y2         ⎞ 23 y 2         ⎞
= ⎜    ⎜−  + 12 y ⎟⎟ −              ⎟ 4 = 14 (кв. ед ) .
  ⎜ 4 ⎜⎝ 2         ⎠   3            ⎟0 3
  ⎝                                 ⎠

     б) В данных уравнениях встречается выражение x 2 + y 2 , значит, для вы-
числения площади криволинейной трапеции можно перейти к полярным коор-
динатам.
      y2 − 2y + x2 = 0
                                                                                                       r=10sin(φ)
⇒ r 2 sin 2 ϕ − 2r sin ϕ + r 2 cos 2 ϕ = 0 ,                         r 2 = 2r sin ϕ ,
r = 2 sin ϕ .
    Аналогично y 2 − 10 y + x 2 = 0 ⇒ r = 10 sin ϕ .                                                                     π/6
   x              r cos ϕ         1       π
y=    ⇒ r sin ϕ =         , tgϕ =    ,ϕ= .
    3                 3            3      6
                                                             π                                                                 p
x = 0 ⇒ r cos ϕ = 0 , cos ϕ = 0 , ϕ =                            . Область ин- r=2sin(φ)
                                                             2
тегрирования изображена на рис.8.                                                                             Рис.8
                     π                          π                                      π
                     2     10 sin ϕ             2                    10 sin ϕ          2
                                                  r2
S=
     ∫∫ rdrdϕ = ∫ dϕ ∫
     D               π      2 sin ϕ
                                                ∫
                                       rdr = dϕ ⋅
                                                π
                                                   2                 2 sin ϕ           ∫
                                                                                = 48 sin 2 ϕdϕ =
                                                                                       π
                     6                          6                                      6
     π                                                           π
     2
                          ⎛     sin (2ϕ ) ⎞                      2


    π
     ∫
= 24 (1 + cos(2ϕ ))dϕ = 24⎜ ϕ +
                          ⎝         2 ⎠
                                          ⎟                      π
                                                                 6
                                                                      = 8π + 6 3 (кв. ед ) .

     6
         13. Найти объём тела ограниченного поверхностями z = 7 x 2 + y 2 ,                                         (          )
z = 1 , x = 0 , y = 3x .
       Решение. Построим чертёж, на котором изобразим тело, ограниченное
указанными поверхностями.


                                                                     41