Методические указания, контрольные работы по дисциплине "Математический анализ" (1 семестр). Мустафина Д.А - 43 стр.

     y                             Решение. а) Вычислим непосредственно. Строим контур
          B                   OAB (рис.11). Обход контура совершаем против часовой
                A             стрелки.
     4

                      x                                                 71           8
     0                                ∫ ∫ ∫ ∫
                                      с
                                          =    +
                                              OA   AB
                                                       +
                                                           BO
                                                                    =
                                                                        3
                                                                           − 5 − 16 = .
                                                                                     3

     Рис. 11
                                                                        1

                                                                        ∫ (4x                 )               (              )
                                   y = 4x 2
∫    ( y + 2 x )dx + 2(x + y )dy =                                               2
                                              =                                      + 2 x dx + 2 x + 4 x 2 8 xdx =
                                   dy = 8 xdx
OA                                                                      0
  1                                                1

     ∫(                          )
                               ⎛          x3    2⎞          20    71
=               3         2    ⎜    2
         64 x + 20 x + 2 x dx =⎜16 x + 20        ⎟
                                             + x ⎟ 0 = 16 +    +1= .
                               ⎝          3      ⎠          3     3
     0
                                                             0                                                    0

∫ ( y + 2x)dx + 2(x + y )dy = dy = 0 = ∫ (4 + 2x)dx = (4x + x )
                                              y=4                                                             2
                                                                                                                  1   = −5 .
AB                                                           1
                                                             0                           0
                                              x=0
∫ ( y + 2x)dx + 2(x + y )dy = dx = 0 = ∫ 2 ydy =y
                                                                                     2
                                                                                         4=      −16 .
BO                                                              4


б)          Вычисляем         по                                            формуле                               Остроградского-Грина
                  ⎛ ∂Q ∂P ⎞
∫
L
     Pdx + Qdy = ⎜⎜   −
                          ∫∫
                          ⎟⎟dxdy .
                  ⎝ ∂x ∂y ⎠
                          D
                                                           ∂P                       ∂Q
              P = y + 2 x , Q = 2( x + y ) ⇒                  = ( y + 2 x ) /x = 1,    = 2( x + y ) /y = 2 .
                                                           ∂y                       ∂x
                                                   1        4                1               4            1

                                                                                                          ∫ (4 − 4 x )dx =
     ⎛ ∂Q ∂P ⎞
∫∫                               ∫∫                ∫ ∫                       ∫
                                                                                                                         2
     ⎜⎜   −   ⎟⎟dxdy =                dxdy = dx                     dy = dx ⋅ y                   2   =
      ⎝ ∂x ∂y ⎠                                                                              4x
D                                D                 0       4 x2              0                            0
                 1
  ⎛       x 3 ⎞⎟    4 8
  ⎜
= ⎜ 4x − 4 ⎟ 0 = 4 − = .
  ⎝        3 ⎠      3 3
       Вычисление криволинейного интеграла непосредственно и формуле Ост-
роградского-Грина совпало.




                                                                        43