Методические указания, контрольные работы по дисциплине "Математический анализ" (1 семестр). Мустафина Д.А - 45 стр.

                                ∂u ⎛ ∂u ⎞         ⎛ ∂u ⎞      ⎛ ∂u ⎞
Производная по направлению:       = ⎜ ⎟ cos α + ⎜⎜ ⎟⎟ cos β + ⎜ ⎟ cos γ .
                                ∂а ⎝ ∂x ⎠ А       ⎝ ∂y ⎠ А    ⎝ ∂z ⎠ А
       ∂u        2       ⎛  1 ⎞ 1 3            9
          = −1 ⋅    + 1⋅ ⎜−    ⎟− ⋅       =−      .
       ∂а        14      ⎝  14 ⎠ 2 14        2 14

    17. Найти в точке B (1; 2; 3) дивергенцию и ротор векторного поля
r z 2 − 2x 2 r z 2 − y 2 r         r
F=          ⋅i +        ⋅ j + 5z ⋅ k .
       y           x
                    z 2 − 2x 2      z2 − y2
       Решение. P =            , Q=         , R = 5z
                         y             x
       Найдём частные производные и их значения в точке B.
                        /
∂P ⎛⎜ z 2 − 2 x 2
  =
∂x ⎜⎝
                    ⎞
                    ⎟               (
                    ⎟ = 1 ⋅ z 2 − 2x 2        )
                                              /
                                              x   =−
                                                       4x   ⎛ ∂P ⎞
                                                          ⇒ ⎜ ⎟ = −2 .
           y        ⎠x y                                y   ⎝ ∂x ⎠ B
                    /
∂Q ⎛⎜ z 2 − y 2 ⎞⎟
    =⎜
 ∂y ⎝         x    ⎟   =
                          1 2
                          x
                             z  (
                                − y 2 /
                                      y )
                                        = −
                                            2y
                                             x
                                               ⇒
                                                 ⎛ ∂Q ⎞
                                                 ⎜⎜
                                                    ∂y
                                                       ⎟⎟ = −4 .
                   ⎠y                             ⎝     ⎠B
∂R                     ⎛ ∂R ⎞
    = (5 z )/z = 5 ⇒ ⎜ ⎟ = 5 .
 ∂z                    ⎝ ∂z ⎠ B
    r ⎛ ∂P ⎞         ⎛ ∂Q ⎞     ⎛ ∂R ⎞         r
divF = ⎜ ⎟ + ⎜⎜            ⎟⎟ + ⎜ ⎟ ⇒ divF = −2 − 4 + 5 = −1 .
        ⎝ ∂x ⎠ B ⎝ ∂y ⎠ B ⎝ ∂z ⎠ B
       Для нахождения ротора необходимо найти оставшиеся частные произ-
водные и их значения в точке B.
                        /                         /
∂P ⎛⎜ z 2 − 2 x 2
  =
∂у ⎜⎝
                    ⎞
                    ⎟       (
                    ⎟ = z 2 − 2x 2      )    ⎛1⎞
                                             ⎜  ⎟
                                            ⋅⎜ ⎟ = −
                                                     z 2 − 2x 2
                                                                ⇒
                                                                  ⎛ ∂P ⎞
                                                                  ⎜    ⎟
                                                                  ⎜ ∂y ⎟ = −
                                                                             7
                                                                               .
           y        ⎠у                       ⎝ y⎠y       y2       ⎝ ⎠B       4
                        /
∂P ⎛⎜ z 2 − 2 x 2 ⎞⎟
   =⎜
∂z ⎝                ⎟   =
                          1
                            ⋅  z 2
                                   −(2 x 2
                                              )
                                              /
                                              z   =−
                                                       2z   ⎛ ∂P ⎞
                                                          ⇒ ⎜ ⎟ = −3 .
               y    ⎠z y                                y   ⎝ ∂z ⎠ B
∂R                    ⎛ ∂R ⎞
   = (5 z ) /x = 0 ⇒ ⎜ ⎟ = 0 .
∂x                    ⎝ ∂x ⎠ B
∂R                   ⎛ ∂R ⎞
   = (5 z )/y = 0 ⇒ ⎜⎜ ⎟⎟ = 0 .
∂y                   ⎝ ∂y ⎠ B
                    /
∂Q ⎛⎜ z 2 − y 2 ⎞⎟
  =⎜
∂z ⎝      x      ⎟ =
                     1 2
                       z − y2   (       )
                                        /
                                        z    =−
                                                  2z  ⎛ ∂Q ⎞
                                                     ⇒⎜
                                                        ∂
                                                           ⎟ = −6 .
                 ⎠z x                              x  ⎝  z ⎠B



                                                       45