Методические указания, контрольные работы по дисциплине "Математический анализ" (1 семестр). Мустафина Д.А - 44 стр.

         15. Вычислить
                               ∫ 2( x + z)dx + (2 y + z )dy − 6 zdz , где контур С является
                               С
                             ⎧ x = cos(2t ),
                             ⎪
одним витком винтовой линии: ⎨ y = sin( 2t ), 0 ≤ t ≤ 2π .
                             ⎪ z = 3t ,
                             ⎩
     Решение.
                            x = cos(2t ) ⇒ dx = −2 sin (2t )dt

∫ 2( x + z)dx + (2 y + z )dy − 6 zdz = zy == 3sint (2t )⇒⇒dzdy==32dtcos(2t )dt
С
                                                                                 =

    2π

=
    ∫ 2(cos(2t ) + 3t )(− 2)sin(2t )dt + (2 sin(2t ) + 3t )2 cos(2t )dt − 6 ⋅ 3t ⋅ 3dt =
     0
    2π                                           2π

=
    ∫ (6t cos(2t ) − 12t sin(2t ) − 54)dt = 6 ∫ (t cos(2t ) − 2t sin(2t ) − 9)dt = − 16π .
    0                                            0


                                       (                    )
      16. Для функции u = ln 2 x 2 + y 2 − 2 z в точке A(− 1; 2; 1) найти гради-
                                             r r    r
                                       r
ент и производную по направлению a = 2i − j + 3k .

    Решение. Найдём частные производные и их значения в точке А.
∂u
   = 2
         1
∂x 2 x + y 2 − 2 z
                   ⋅ 2 x 2
                           (
                           + y 2
                                 − 2 z
                                       /
                                       x =   )   4x
                                                           ⇒
                                                             ⎛ ∂u ⎞
                                                             ⎜ ⎟ = −1 .
                                                             ⎝ ∂x ⎠ A
                                           2x 2 + y 2 − 2z
∂u
   = 2
            1
                   ⋅ 2 x 2
                           (
                           + y 2
                                 − 2 z
                                       /
                                       y =   )              2y
                                                                      ⇒
                                                                        ⎛ ∂u ⎞
                                                                        ⎜⎜ ⎟⎟ = 1 .
∂y 2 x + y 2 − 2 z                         2x 2            + y 2 − 2z    ⎝ ∂y ⎠ A
∂u
   = 2
            1
∂y 2 x + y 2 − 2 z
                   ⋅ 2 x 2
                           (
                           + y 2
                                 − 2 z
                                       /
                                       z =   )              −2
                                                                      ⇒
                                                                          ⎛ ∂u ⎞
                                                                          ⎜
                                                                            ∂
                                                                               ⎟  = −
                                                                                      1
                                                                                        .
                                           2x 2                2
                                                           + y − 2z       ⎝ ⎠A
                                                                             z        2
        ⎛ ∂u ⎞ r ⎛ ∂u ⎞ r ⎛ ∂u ⎞ r
gradu = ⎜ ⎟ ⋅ i + ⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ j + ⎜ ⎟ ⋅ k .
        ⎝ ∂x ⎠ А   ⎝ ∂y ⎠ А       ⎝ ∂z ⎠ А
          r r 1r
gradu = −i + j − k .
                 2
                                                        a      2            ay   −1
      Найдем направляющие косинусы: cos α = rx =                   , cos β = r =    ,
                                                         a     14            a   14
       a     3        r
cos γ = rz =    , где а = а x2 + a 2y + a z2 = 2 2 + (− 1)2 + 3 2 = 14 .
        a    14




                                                      44