Методические указания, контрольные работы по дисциплине "Математический анализ" (1 семестр). Мустафина Д.А - 42 стр.

        z           1                      Снизу область V ограничена эллиптическим парабо-
                                                             (           )
                                     лоидом z = 7 x 2 + y 2 , а сверху плоскостью z = 1 (рис. 9).
                                     D – область интегрирования (рис. 10), представляющая со-
                                                           ⎧ 2       2  1
                                                           ⎪x + y = ,
    0                              y бой круговой сектор ⎨              7
                                                           ⎪ x = 0, y = 3 y.
     x                                                     ⎩
         Рис. 9

     Так как встречается выражение x 2 + y 2 следовательно необходимо пе-
рейти к полярным координатам.
      π/2                  Область D в полярных координатах задаётся ли-
           π/3
                            ⎧       1
                            ⎪⎪  r =    ,
                                     7
                      ниями ⎨
                             ⎪ϕ = π , ϕ = π .
                   p         ⎪⎩     3     2

     Рис. 10
                                                  1                          1

        ∫∫∫                    ∫∫                 ∫ ) ∫∫                                               ∫∫ (1 − 7(x           ))
                                                                                                                     2
V=                  dxdydz =           dxdy           dz =       dxdy ⋅ z                          =                     + y 2 dxdy =
                                                                                 (
                                                                             7 x +y   2    2
                                                                                               )
            v                      D            (
                                              7 x2 + y2      D                                         D
                                                                    π            1                             π
                                                                     2            7                            2                        1

    ∫∫ (1 − 7r )rdrdϕ = ∫∫ (r − 7r )drdϕ = ∫ dϕ ∫ (                                                      )⎛ r 2 7r 4 ⎞
                                                                                          r − 7r dr = dϕ ⎜⎜
                                                                                                              ∫      ⎟
                        2                              3                                        3                                        7
=                                                                                                              −     ⎟                       =
                                                                                                          ⎝  2   4   ⎠              0
    D                                   D                           π            0                   π
                                                                     3                                         3
            π
            2                  π
   3      3                             3 ⎛π π ⎞ π
=
  14
     dϕ = ϕ
         14 ∫
            π
                               2
                               π
                               3
                                   =      ⎜ − ⎟ = (куб. ед) .
                                       14 ⎝ 2 6 ⎠ 14
            3

                14. Вычислить
                                            ∫ ( y + 2 x)dx + 2(x + y )dy ,
                                            C
                                                                                                   где С образован линиями

                2
y = 4x , y = 4 , x = 0 :
      а) непосредственно; б) по формуле Остроградского-Грина.




                                                                    42