Методические указания, контрольные работы по дисциплине "Математический анализ" (1 семестр). Мустафина Д.А - 36 стр.

5                                   3−δ                                  3−δ
              dx                                      dx                               dx
∫
2
          2
       x − 5x + 6
                           = lim
                             ε →0
                             δ →0 2 +ε
                                        ∫         2
                                                 x − 5x + 6
                                                                = lim
                                                                  ε →0    ∫
                                                                         2 +ε   ⎛      5⎞
                                                                                            2
                                                                                            1
                                                                                                +
                                                                                ⎜x −    ⎟ −
                                                                                ⎝      2⎠   4
              5
                           dx                               5                3−δ
+ lim
    γ →0
            ⎛
              ∫
           3+ γ  5⎞   1 δ →0
                                2
                                            = lim ln x −
                                              ε →0          2
                                                              + x 2 − 5x + 6
                                                                             2+ε
                                                                                 +
            ⎜x − ⎟ −
            ⎝    2⎠   4
              5              5
+ lim ln x − + x 2 − 5 x + 6      = ln(5 + 2 5 ) ⇒ интеграл сходится.
  γ →0        2              3+γ
Замечание: при решении несобственного интеграла удобно сначала вычислить
неопределённый интеграл
                       5
         dx         x− =t          dt                  1
∫   ⎛    5⎞
            2
                  =    2
                1 dx = dt
                             =
                                 t 2
                                     −
                                       1              ∫
                                         = ln t + t 2 − + C =
                                                       4
    ⎜x − ⎟ −                           4
    ⎝    2⎠     4
                                    2
        5  ⎛    5⎞  1            5
= ln x − + ⎜ x − ⎟ − + C = ln x − + x 2 − 5 x + 6 + C .
        2  ⎝    2⎠  4            2


                                                              x2 1
       7. Вычислить длину дуги кривой: а) y =                    − ln( x), 1 ≤ x ≤ 2 ;
                                                              4 2
   ⎧x = 3,5(2 cos(t ) − cos(2t )),                                      π
б) ⎨                                0 ≤ t ≤ π ; в) r = 8 sin ϕ , 0 ≤ ϕ ≤ .
   ⎩ y = 3,5(2 sin(t ) − sin(2t )),                                     4
        Решение.
       а) Функция задана в явном виде, для вычисления длины дуги кривой ис-
                                        b

пользуем формулу l =
                                        ∫
                                        a
                                             1 + ( y ′)2 dx .

                                       ′
                         ⎛ x2 1      ⎞   x 2
                                             −1
           Найдём y ′ = ⎜⎜   − ln x ⎟⎟ =        и
                         ⎝ 4  2      ⎠     2 x
                                             2                                              2
                             ⎛ x 2 − 1⎞                x 4 + 2x 2 + 1       ⎛ x 2 + 1⎞   x 2
                                                                                             +1
    1 + ( y ′)    2
                      = 1 + ⎜⎜        ⎟ =
                                      ⎟                                  = ⎜⎜        ⎟ =
                                                                                     ⎟          .
                             ⎝   2 x  ⎠                    4x 2             ⎝   2 x  ⎠     2 x
      2                         2
          x2 + 1     1 ⎛                    1⎞    1 ⎛⎜ x 2         ⎞ 2 3 + ln 2
l=
      ∫
      1
           2x
                dx =   ⎜x +
                     2 ⎝        ∫
                                1
                                             ⎟dx = ⎜
                                            x⎠    2⎝ 2
                                                           + ln x ⎟⎟ 1 =
                                                                   ⎠      4
                                                                                (ед) .




                                                                  36