Методические указания, контрольные работы по дисциплине "Математический анализ" (1 семестр). Мустафина Д.А - 26 стр.

                                  ⎛ 4 5 ⎞⎛    4     4     ⎞
         ⎛    5⎞
                               (
       20⎜ x − ⎟ 10 x + 5 x + 4 20⎜ − ⎟⎜⎜ 10 ⋅ + 5 ⋅ + 4 ⎟⎟
                                  ⎝ 5 4 ⎠⎝    5     5
                                                               )
                                                               36 2
         ⎝    4⎠                                          ⎠
= lim                          =                            =−      .
  x→
     4            5                         5                    5
         5


                 ⎛ 3           6 ⎞
        в) lim ⎜          −        ⎟.
            x →1 ⎝ 1 − x 1 − x 2 ⎠
        Решение. Предел имеет неопределённость вида [∞ − ∞ ] . Для решения
предела приводим его к общему знаменателю.
      ⎛ 3          6 ⎞                       ⎛ 3           6         ⎞       3(1 + x ) − 6
lim ⎜         −         ⎟ =  [∞ − ∞ ] = lim  ⎜
                                             ⎜     −                 ⎟
                                                                     ⎟ x →1 (1 − x )(1 + x ) =
                                                                       = lim
x →1 ⎝ 1 − x 1 − x 2 ⎠                  x →1⎝ 1 − x (1 − x )(1 + x ) ⎠

            3x − 3                − 3(1 − x )        −3         3
= lim                    = lim                 = lim       = − = −1,5 .
   x →1 (1 − x )(1 + x ) x →1 (1 − x )(1 + x ) x →1 1 + x       2
                      e 3x − e 2 x
             г) lim                .
                x →0 1 − cos(4 x )
             Решение. Предел имеет неопределенность вида                                                    ⎡0⎤ ,     для решения исполь-
                                                                                                            ⎢⎣ 0 ⎥⎦

зуем эквивалентные функции на бесконечно малые при                                                                             x → 0 , т.к.
                          2                                    2
                    α                                      α
1 − cos α ~                    ⇒ cos α ~ 1 −                       и eα − 1 ~ α ⇒ eα ~ 1 + α .
                      2                                 2
      e −e   3x      2x
                    ⎡0⎤                            1 + 3 x − (1 + 2 x )                        x               −1
lim               = ⎢ ⎥ = lim                                                       = lim              = lim       = ∞.
x →0 1 − cos(4 x ) ⎣ 0 ⎦  x →0                                 (4 x )   2            x →0 8 x      2      x →0 8 x

                                                                   2
                                        7x
             ⎛ 5x − 4 ⎞
      д) lim ⎜         ⎟ .
         x →∞⎝ 5 x + 4 ⎠

      Решение. Неопределенность 1∞ показывает, что надо использовать вто-[ ]
рой замечательный предел. Для вычисления этого предела можно применить-
готовую формулу lim (1 + f ( x )) g ( x ) = 1∞ = e x → ∞
                                   x →∞
                                                                              [ ]     lim ( f ( x )⋅ g ( x ))
                                                                                                                .

                                   [ ]
                          7x                                                   7x                                     7x
     ⎛ 5x − 4 ⎞                     ∞          ⎛ 5x + 4 − 8 ⎞                             ⎛     −8 ⎞
 lim ⎜         ⎟               =1        = lim ⎜            ⎟                       = lim ⎜1 +        ⎟                    =
 x →∞⎝ 5 x + 4 ⎠                           x →∞⎝ 5 x + 4 ⎠                            x →∞⎝    5x + 4 ⎠
             −8                                  −56 x                 56
      lim          ⋅7 x     ⎡∞ ⎤    lim                            −
=   e x →∞ 5 x + 4        = ⎢ ⎥ = e x →∞          5x       =e           5 .
                            ⎣∞ ⎦
             е) lim (cos(8 x ))
                                          2
                                ctg           (5 x )
                                                       .
                  x →π
     Решение. При решении получаем неопределённость вида 1∞ , которая                                                          [ ]
показывает, что этот предел сводится ко второму замечательному. Для решения


                                                                               26