ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
(задача Коши), где
()
00
, yx – заданная точка. Найдя общее решение (1.2), достаточно подставить (соглас-
но (1.4)) значения
00
, yyxx == в равенство (1.2), чтобы определить соответствующее значение
0
CC
=
;
затем ответ записывается в виде (1.3).
1.2 Дифференциальное уравнение вида
)()( ygxfy
=
′
(1.5)
называется уравнением с разделяющимися переменными. Если y
′
представить как отношение
dx
dy
диф-
ференциалов, то (1.5) преобразуется к виду
dxxf
yg
dy
)(
)(
=
.
Интегрируя, получим общее решение
∫∫
= dxxf
yg
dy
)(
)(
.
Частным случаем (1.5) является )(xfy =
′
; общее решение здесь имеет вид
dxxfy
∫
= )( .
Уравнение допускает разделение переменных, если записано в несколько иной, чем (1.5), хотя эк-
вивалентной форме. Характерным признаком здесь является наличие произведений (частных) "блоков",
зависящих лишь от х и лишь от у.
Замечания:
1 Если обе части уравнения делим на переменную величину, то ограничиваемся случаем, когда она
отлична от нуля.
2 Возникающая при интегрировании произвольная постоянная может быть записана в виде kC или
k ln C, где k – произвольно выбранный множитель. Такая запись бывает удобна для упрощения ответа.
Пример 1.
(
)
xyyx ln4
2
+=
′
. Найти общее решение.
Решение. Имеем уравнение с разделяющимися переменными (см. отмеченный выше характер-
ный признак)
(
)
xy
dx
dy
x ln4
2
+= .
Умножим обе части на dx , после чего "лишними" окажутся в левой части множитель х, а в правой –
(
)
2
4 y+ . Поделим, следовательно, обе части на
(
)
2
4 yx + . Последовательно получаем
(
)
.
ln
4
;ln4
2
2
dx
x
x
y
dy
dxxydyx
=
+
+=
Переменные разделены. Произведем интегрирование
.
2
1
2
ln
2
arctg
2
1
;)(lnln
2
2
22
C
xy
xdx
y
dy
+=
=
+
∫∫
Итак, получено общее решение
Cx
y
+=
2
ln
2
arctg .
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
- …
- следующая ›
- последняя »
