ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
1ln;01ln
=
=
e .
1.3 Уравнение вида
=
′
x
y
fy
(1.6)
или приводящееся элементарными преобразованиями к указанному виду, называется однородным. За-
меной переменных
x
y
t
= (откуда xtty
′
+=
′
), уравнение (1.6) преобразуется к рассмотренному типу п. 1.2.
Пример 1. 0cos
2
=+−
′
x
y
xyyx
. Найти общее решение.
Решение. Непосредственное разделение переменных здесь невозможно: дробь
x
y
, содержащаяся
под знаком косинуса, наводит на мысль о виде (1.6). Действительно, поделив обе части на х, получим
0cos
2
=+−
′
x
y
x
y
y
.
Уравнение теперь зависит от отношения
x
y
(однородное); положим
x
y
t
= , тогда
dx
dt
xty +=
′
и
0cos
2
=+−+ tt
dx
dt
xt .
Разделяем переменные
.
cos
;cos
;cos
2
2
2
x
dx
t
dt
dxtdtx
t
dx
dtx
=−
−=
−=
Интегрируя, имеем
Cxt lnlntg
+
=− или 0tgln
=
+
tCx .
Осталось вспомнить, что
x
y
t =
:
0tgln =+
x
y
Cx
.
Пример 2.
yx
y
y
+
=
′
. Найти общее решение.
Решение. Уравнение принимает вид (1.6), если числитель и знаменатель дроби поделить на х
x
y
x
y
y
+
=
′
1
.
Для
x
y
t =
имеем
t
t
txt
+
=+
′
1
;
t
t
t
dx
dt
x −
+
=
1
;
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
- …
- следующая ›
- последняя »
