ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
Пример 2. Решить задачу Коши
(
)
=
=+−+
.
2
1
)0(
;01)2(
2
y
dyxdxxxy
Решение. Если уравнение переписать в виде
(
)
dyxdxyx 1)12(
2
+=+ ,
то видим возможность разделения переменных: следует поделить обе части на произведение
()
(
)
112
2
++ xy . Имеем
()
;
12
1
1
2
1
;
12
1
;
12
1
2
2
2
2
∫∫
∫∫
+
=
+
+
+
=
+
+
=
+
y
dy
x
xd
y
dy
dx
x
dxx
y
dy
dx
x
x
()
Cyx ln
2
1
)12(ln
2
1
1ln
2
1
2
++=+ .
Упрощаем полученное общее решение:
(
)
(
)
Cyx ln12ln1ln
2
++=+
;
(
)
(
)
12ln1ln
2
+=+ yCx ;
)12(1
2
+=+ yCx .
Теперь выясним, при каком значении постоянной С будет выполнено указанное начальное условие.
Подставляя
2
1
,0 == yx
, получим
2
1
,1
2
1
210 =
+⋅=+ CC
.
При найденном значении С из общего решения получаем
)12(
2
1
1
2
+=+ yx или
2
1
2
+= xy .
Замечания:
1 Для определенности считаем, что выражения, содержащиеся под знаком логарифма, положитель-
ны, поэтому не записываем соответствующий знак модуля.
2 Здесь и в дальнейшем используются следующие свойства логарифмов:
baba
⋅
=
+
lnlnln ;
b
a
ba lnlnln =−
;
k
aak lnln = ;
m
ezmz =⇔=ln ;
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- …
- следующая ›
- последняя »
