ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
или
)2sin)2(2cos)2((
5
1
1221
3
tCCtCCex
t
−++=
.
Ответ:
+=
−++=
.)2sin2cos(
;)2sin)2(2cos)2((
5
1
21
3
1221
3
tCtCey
tCCtCCex
t
t
Задача 15. Найти три первых отличных от нуля члена разложения по формуле Маклорена решения
y = y(x) задачи Коши
=
++=
′
−
.0)0(
;1
y
xyey
y
Решение. Разложение по формуле Маклорена всякой (дифференцируемой n + 1 раз в точке x
0
и ее
окрестности) функции имеет вид
)0,(
!
)0(
...
!3
)0(
!2
)0(
!1
)0(
)0()(
)(
32
xRx
n
y
x
y
x
y
x
y
yxy
n
n
n
+++
′′′
+
′′
+
′
+= .
Поэтому достаточно найти лишь его коэффициенты ),0(),0( yy
′
)0(),0( yy
′
′
′
′
′
, … Значение у(0) = 0 – да-
но, зависимость y
′
от х и у известна. Следовательно,
21)0(01)0(
0)0(
=+=⋅++=
′
−
eyey
y
.
Далее
()
yxyyexyey
yy
′
++
′
−=
′
++=
′′
−−
1
(использована формула дифференцирования сложной функции). Подставляя х = 0, у(0) = 0, 2)0(
=
′
y ,
получаем 2)0( −=
′′
y . Осталось найти еще один ненулевой коэффициент. Имеем:
yxyyeyey
yy
′′
+
′
+
′′
−
′
=
′′′
−−
2)(
2
и
10022)2(2)0(
020
=+⋅+−−⋅=
′′
eey .
Подставляя найденные значения в формулу Маклорена, получаем следующий ответ:
...
3
5
2)(
32
++−= xxxxy .
Задача 16. Найти приближенное решение задачи Коши для обыкновенного дифференциального
уравнения первого порядка
=
+=
′
1)0(
;5/cos
y
yxyy
в точке 5,0
1
=x с помощью метода Эйлера. Использовать разбиение отрезка ];[
10
xx на 5
1
=n и 10
2
=n
равных частей. Получить уточненное решение с помощью формулы Рунге (вычисления проводить с
точностью до 0,001).
Решение. Проводим расчет, разбивая отрезок на 5 частей. Так как
5,5,0,0
0
=== nxx
k
, то
1,0
5
05,0
0
=
−
=
−
=
n
xx
h
k
. Из условия задачи
1
0
=y
, 5/cos),( yxyyxf
+
=
. Находим значения приближенного
решения в узлах:
