Сборник задач по дифференциальным уравнениям и их приложениям. Нахман А.Д - 69 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

имеет вид п. 2 таблицы (степень многочлена )(xP
n
равна 2); контрольное число 0=S . Поскольку
1
λ≠S ,
2
λ≠S , то 0=r .
CBxAxy ++=
2
ч
.
Осталось определить коэффициенты A, B и C.
Находим
BAxy +=
′
2
ч
;
Ay 2
ч
=
′
′
и подставляем в неоднородное уравнение
1265)(5)2(22
22
−+=++++− xxCBxAxBAxA
или 1265)522()54(5
22
−+=+−++−+ xxCBAxBAAx .
Приравнивая коэффициенты при одинаковых функциях в левой и правой частях, получаем систему
алгебраических уравнений
−=+−
=+−
=
.12522
;654
;55
CBA
BA
A
Отсюда 2;2;1
−
=== CBA .
Итак, 22
2
ч
−+= xxy .
Следовательно, общее решение ЛНУ
22)2sin2cos(
2
21
−+++= xxxCxCey
x
.
Найдем частное решение ЛНУ, удовлетворяющее начальным условиям. Для этого сначала продиф-
ференцируем полученное общее решение ЛНУ:
22)2cos22sin2()2sin2cos(
2121
+++−++=
′
xxCxCexCxCey
xx
.
Подставляя в полученные равенства значения 2;0;0
=
′
=
=
yyx ,
получим систему
++⋅+⋅−⋅+⋅+⋅⋅=
−++⋅+⋅⋅=
.20)1202(1)01(12
;200)01(10
2121
21
CCCC
CC
Отсюда
1,2
21
−== CC .
Подставляя эти значения констант в общее решение ЛНУ, получим решение задачи Коши.
Ответ: 22)2sin2cos2(
2
2
−++−= xxxCxey
x
.
Задача 13. Процесс колебания материальной точки массой m под действием силы упругости
kyF −=
у
, силы сопротивления среды yhF
′
−=
c
и внешней силы )(tF , где t – время, а y(t) – отклонение от
состояния равновесия y = 0, может быть описан уравнением вида )(tfqyypy
=
+
′
+
′′
. Здесь
m
tF
tf
m
k
q
m
h
p
)(
)(,, ===
. Найти закон движения точки, если известны значения p = 2, q = 10,
ttf 3sin)( = , а также координаты точки в моменты времени t
0
= 0 и t
1
= 5: y(0) = 0, y(5) = 0.
Решение. Требуется решить уравнение

Страницы