ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
lim
x→θ
x
1
+ x
2
(x
1
)
2
+ (x
2
)
2
· x
1
x
2
(Ω = R
2
\{θ})
lim
x→θ
kxk
hx,ai
(Ω = R
n
\{θ})
E x
0
∈ E y ∈
E kyk = 1 l(x
0
, y) = {x
0
+ ty : t > 0}
x
0
y Ω ⊂ E f : Ω →
→ F F x
0
l(x
0
, y) ∩ Ω f
l
l
Ω
≡ {t ≥ 0|x
0
+ ty ∈
Ω} f
l
(t) ≡ f(x
0
+ ty) t ∈ l
Ω
z ∈ F
f x
0
y z = lim
t→0+
f(x)
z = lim
x→x
0
(y)
f(x)
z = lim
x→x
0
f(x) z = lim
x→x
0
(y)
f(x) y
x
0
l(x
0
, y) ∩ Ω
x = (x
1
, x
2
)
r = ϕ
0 < ϕ ≤ 2π r ϕ
f : R
2
\{θ} → R
f(x) =
½
0, kxk ≥ ϕ,
(ϕ − kxk)/ϕ, kxk < ϕ.
f
lim
x→θ
f(x)
lim
x→θ(y)
f(x) = 1
y
-
6
¡
¡
¡
¡
¡ª
¤
¤
¤
¤
¤
¤
¤
¤
¤
¤
¤
@
@
@
@
@
@
@
@
Q
Q
P
P
»
»
©
©
¡
¡
·
·
·
·
·
·
·
·
x
2
x
1
ϕ = 0
y
& %
E F Ω ⊂ E f : Ω → F
a ∈ Ω
∀ ε > 0 ∃δ > 0∀x ∈ Ω (kx − ak < δ ⇒ kf(x) − f(a)k < ε). (∗)
f Ω
Ω
a ∈ Ω Ω (∗)
lim
x→a
f(x) = f(a)
a Ω f : Ω → F
a
x1 + x2
5.8.1. lim · x1 x2 (Ω = R2 \{θ}),
x→θ (x1 )2 + (x2 )2
5.8.2. lim kxkhx,ai (Ω = Rn \{θ}).
x→θ
6. ÏÐÅÄÅË ÏÎ ÍÀÏÐÀÂËÅÍÈÞ
6.1. Ïóñòü E åâêëèäîâî ïðîñòðàíñòâî, x0 ∈ E ôèêñèðîâàííûé âåêòîð è y ∈
E , kyk = 1. Ìíîæåñòâî l(x0 , y) = {x0 + ty : t > 0} íàçûâàåòñÿ ëó÷îì, âûõîäÿùèì èç
x0 â íàïðàâëåíèè y . Ïóñòü òåïåðü Ω ⊂ E, f : Ω →
→ F , ãäå F åâêëèäîâî ïðîñòðàíñòâî, è ïóñòü x0 ïðåäåëüíàÿ òî÷êà ìíîæåñòâà
l(x0 , y) ∩ Ω. Îáîçíà÷èì ÷åðåç fl âåêòîð-ôóíêöèþ, çàäàííóþ íà lΩ ≡ {t ≥ 0|x0 + ty ∈
Ω} ôîðìóëîé fl (t) ≡ f (x0 + ty), t ∈ lΩ . Âåêòîð z ∈ F íàçîâåì ïðåäåëîì ôóíêöèè
f â òî÷êå x0 ïî íàïðàâëåíèþ y , åñëè z = lim f (x).  ýòîì ñëó÷àå ïèøåì òàêæå
t→0+
z= lim f (x).
x→x0 (y)
6.2. Åñëè z = lim f (x), òî z = lim f (x) ïî ëþáîìó íàïðàâëåíèþ y , äëÿ
x→x0 x→x0 (y)
êîòîðîãî x0 ÿâëÿåòñÿ ïðåäåëüíîé òî÷êîé ìíîæåñòâà l(x0 , y) ∩ Ω. Êàê ïîêàçûâàåò
íèæåñëåäóþùèé ïðèìåð, îáðàòíîå óòâåðæäåíèå íåâåðíî: ìîæåò ñóùåñòâîâàòü îäèí
è òîò æå ïðåäåë ïî ëþáîìó íàïðàâëåíèþ, íî ïðåäåëà ìîæåò íå áûòü.
6.3. Â ïëîñêîñòè x = (x1 , x2 )
y
ðàññìîòðèì ñïèðàëü r = ϕ, 6
1
0 < ϕ ≤ 2π , ãäå r è ϕ ïîëÿð- ·¤@
íûå êîîðäèíàòû, è îïðåäåëèì ·¤ @
f : R2 \{θ} → R ïî ôîðìóëå: · ¤ @
· ¤ @
½ · ¤ » » @
0, åñëè kxk ≥ ϕ, · ©
© ¤ PP@
f (x) =
(ϕ − kxk)/ϕ, åñëè kxk < ϕ. · ¤ ϕ = 0Q
Q
@
·¡
¡ ¤ @-
(Ãðàôèê ôóíêöèè f èçîáðàæåí íà ¤ ¡ x1
ðèñóíêå.) Òîãäà lim f (x) íå ñóùå- & ¤¤ ¡ %
x→θ ¡
ñòâóåò, îäíàêî lim f (x) = 1 äëÿ ¡
x→θ(y)
ª x2
¡
ëþáîãî íàïðàâëåíèÿ y .
7. ÍÅÏÐÅÐÛÂÍÛÅ ÎÒÎÁÐÀÆÅÍÈß
7.1. Ïóñòü E , F , åâêëèäîâû ïðîñòðàíñòâà, Ω ⊂ E . Ôóíêöèÿ f : Ω → F íàçû-
âàåòñÿ íåïðåðûâíîé â òî÷êå a ∈ Ω, åñëè
∀ ε > 0 ∃δ > 0∀x ∈ Ω (kx − ak < δ ⇒ kf (x) − f (a)k < ε). (∗)
Ôóíêöèÿ f , íåïðåðûâíàÿ â êàæäîé òî÷êå ìíîæåñòâà Ω, íàçûâàåòñÿ íåïðåðûâíîé
(íà Ω).
Ñäåëàåì íåñêîëüêî çàìå÷àíèé ïî ïîâîäó äàííîãî îïðåäåëåíèÿ.
7.1.1. Åñëè a ∈ Ω ïðåäåëüíàÿ òî÷êà Ω, òî óñëîâèå (∗) ýêâèâàëåíòíî óñëîâèþ
lim f (x) = f (a).
x→a
7.1.2. Åñëè a èçîëèðîâàííàÿ òî÷êà Ω, òî ëþáàÿ ôóíêöèÿ f : Ω → F íåïðåðûâíà
â òî÷êå a.
10
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 7
- 8
- 9
- 10
- 11
- следующая ›
- последняя »
