Пределы и непрерывность отображений в евклидовых пространствах. Задания для индивидуальной работы по курсу "Математический анализ". Насыров С.Р - 8 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

A x
m
(x
m
∈ A)
x
m
→ x ⇒ x ∈ A
x A
x
m
(x
m
∈ A) x
m
→ x
x A
x
m
(x
m
∈ A, x
m
6= x) x
m
→ x
x A
x
m
(x
m
∈ A) : x
m
→ x ⇒ ∃N ∀m ≥ N (x
m
= x)
x y E hx, yi ≡
P
n
k=1
x
k
y
k
hx, xi = kxk
2
x
m
→ x y
m
→ y hx
m
, y
m
i → hx, yi kx
m
k → kxk
lim
m
1
m
x x ∈ E
x
m
→ x 6= θ
∃δ > 0∃N ∈ N ∀m > N (kx
m
k > δ).
E F
E = R
n
, F = C
m
f : Ω → F (Ω ⊂ E)
E n f : Ω → R
f : Ω → )
n x = (x
1
, . . . , x
n
) ∈ Ω
f(x
1
, . . . , x
n
)
f : Ω → C Ω ⊂ C
f : Ω → F Ω ⊂ R Ω ⊂ C F
f : Ω → F (Ω ⊂ E)
E
n F m f(x) (x =
(x
1
, . . . , x
n
) ∈ Ω)
f(x) = ((f(x))
1
, . . . , (f(x))
m
).
f m
f
1
(x) ≡ (f(x))
1
, . . . , f
m
(x) ≡ (f(x))
m
,
n
   4.5.1. Ìíîæåñòâî A çàìêíóòî òòîãäà äëÿ ëþáîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè xm (xm ∈ A):
xm → x ⇒ x ∈ A.
   4.5.2. x  òî÷êà ïðèêîñíîâåíèÿ ìíîæåñòâà A òòîãäà ñóùåñòâóåò ïîñëåäîâàòåëü-
íîñòü xm (xm ∈ A) òàêàÿ, ÷òî xm → x.
   4.5.3. x  ïðåäåëüíàÿ òî÷êà ìíîæåñòâà A òòîãäà ñóùåñòâóåò ïîñëåäîâàòåëüíîñòü
xm (xm ∈ A, xm 6= x) òàêàÿ, ÷òî xm → x.
   4.5.4. x  èçîëèðîâàííàÿ òî÷êà ìíîæåñòâà A òòîãäà äëÿ ëþáîé ïîñëåäîâàòåëü-
íîñòè xm (xm ∈ A) : xm → x ⇒ ∃N ∀m ≥ N (xm = x).

Pn4.6. kÑêàëÿðíûì
         k
                  ïðîèçâåäåíèåì âåêòîðîâ x è y â E íàçûâàåòñÿ âåëè÷èíà hx, yi ≡
                                                                            2
 k=1 x y (÷åðòà îçíà÷àåò êîìïëåêñíîå ñîïðÿæåíèå). Îòìåòèì, ÷òî hx, xi = kxk .

   4.6.1. Åñëè xm → x, ym → y , òî hxm , ym i → hx, yi, kxm k → kxk.
                     1
   4.7.1. Íàéòè lim    x, ãäå x ∈ E .
                 m  m
   4.7.2. Äîêàçàòü, ÷òî åñëè xm → x 6= θ, òî

                        ∃δ > 0∃N ∈ N ∀m > N (kxm k > δ).


                        5. ÏÐÅÄÅË ÎÒÎÁÐÀÆÅÍÈß
    5.1. Ïóñòü E è F  åâêëèäîâû ïðîñòðàíñòâà (âîçìîæíî, ðàçíîé ðàçìåðíîñòè
è ðàçíîé ïðèðîäû, íàïð., E = Rn , F = Cm ). Áóäåì èçó÷àòü îòîáðàæåíèÿ âèäà
f : Ω → F (Ω ⊂ E). Îòìåòèì ñïåöèàëüíûå ñëó÷àè îòîáðàæåíèé òàêîãî òèïà:
    5.1.1. Åñëè E  n-ìåðíîå åâêëèäîâî ïðîñòðàíñòâî, òî f : Ω → R (ñîîòâåòñòâåí-
íî f : Ω → ) íàçûâàåòñÿ âåùåñòâåííîé (ñîîòâåòñòâåííî êîìïëåêñíîé) ôóíêöèåé
n ïåðåìåííûõ; åå çíà÷åíèå íà âåêòîðå x = (x1 , . . . , xn ) ∈ Ω çàïèñûâàåòñÿ â âèäå
f (x1 , . . . , xn ).
   5.1.2.  ÷àñòíîñòè, îòîáðàæåíèÿ f : Ω → C (Ω ⊂ C) íàçûâàþòñÿ ôóíêöèÿìè
îäíîãî êîìïëåêñíîãî ïåðåìåííîãî.
   5.1.3. Îòîáðàæåíèÿ âèäà f : Ω → F , ãäå Ω ⊂ R èëè Ω ⊂ C, à F  åâêëèäîâî
ïðîñòðàíñòâî, íàçûâàþòñÿ âåêòîð-ôóíêöèÿìè.
   5.1.4. ×àñòíûì ñëó÷àåì âåêòîð-ôóíêöèé ÿâëÿþòñÿ âåêòîðíûå ïîñëåäîâàòåëüíî-
ñòè, èçó÷åííûå â ðàçäåëå 4.
     5.2. Çàìåòèì, ÷òî èçó÷åíèå îáùèõ îòîáðàæåíèé f : Ω → F (Ω ⊂ E) ñâîäèòñÿ
ê èçó÷åíèþ ôóíêöèé ìíîãèõ ïåðåìåííûõ (ñì. 5.1.1). Äåéñòâèòåëüíî, ïóñòü E 
n-ìåðíîå, à F  m-ìåðíîå åâêëèäîâû ïðîñòðàíñòâà. Çàïèñûâàÿ âåêòîð f (x) (x =
(x1 , . . . , xn ) ∈ Ω) â êîîðäèíàòàõ, èìååì

                            f (x) = ((f (x))1 , . . . , (f (x))m ).

Èòàê, îòîáðàæåíèå f çàäàåòñÿ ñèñòåìîé m ôóíêöèé

                       f 1 (x) ≡ (f (x))1 , . . . , f m (x) ≡ (f (x))m ,

êàæäàÿ èç êîòîðûõ ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèåé n ïåðåìåííûõ.

                                              8

Страницы