Пределы и непрерывность отображений в евклидовых пространствах. Задания для индивидуальной работы по курсу "Математический анализ". Насыров С.Р - 6 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

x ∈ E A ⊂ E
A A
A A
∂A = {x ∈ E : ∀r > 0 (B
r
(x) ∩ A 6= ∅, B
r
(x) ∩ A
c
6= ∅).
∂A = A
−
\A
◦
E = A
◦
∪ ∂A ∪ A
c◦
A ⊂ E
A ⊂ E
∅ E
B
r
(a)
x ∈ B
r
(a) ε = r − kx − ak > 0 B
ε
(x) ⊂ B
r
(a)
∀y ∈ B
ε
(x) (ky − xk < ε) ky − ak 6 ky − xk + kx − ak < ε + kx − ak = r ¤
B
r
(a)
A ⇔ A = A
◦
A
◦◦
= A
◦
A
◦
A
A ⇔ A = A
−
A
−−
= A
−
A
−
A
A
1
, . . . , A
n
A =
n
\
i=1
A
n
   2.3. Òî÷êà x ∈ E íàçûâàåòñÿ ãðàíè÷íîé äëÿ ìíîæåñòâà A ⊂ E , åñëè êàæäàÿ åå
îêðåñòíîñòü ñîäåðæèò êàê òî÷êè A, òàê è òî÷êè, íå ïðèíàäëåæàùèå A. Ìíîæåñòâî
âñåõ ãðàíè÷íûõ òî÷åê A íàçûâàåòñÿ ãðàíèöåé ìíîæåñòâà A è îáîçíà÷àåòñÿ:

               ∂A = {x ∈ E : ∀r > 0 (Br (x) ∩ A 6= ∅, Br (x) ∩ Ac 6= ∅).

   2.3.1. Ïîêàçàòü, ÷òî ∂A = A− \A◦ .
   2.3.2. Ïîêàçàòü, ÷òî, E = A◦ ∪ ∂A ∪ Ac◦ , ïðè÷åì ñëàãàåìûå ïîïàðíî íåïåðåñåêà-
þòñÿ.
   2.4. Ìíîæåñòâî A ⊂ E íàçûâàåòñÿ îòêðûòûì, åñëè êàæäàÿ åãî òî÷êà âíóòðåí-
íÿÿ. Ìíîæåñòâî A ⊂ E íàçûâàåòñÿ çàìêíóòûì, åñëè îíî ñîäåðæèò âñå ñâîè òî÷êè
ïðèêîñíîâåíèÿ.
   Ïðèìåðû îòêðûòûõ è çàìêíóòûõ ìíîæåñòâ:
   2.4.1 ∅, E ñóòü è îòêðûòûå, è çàìêíóòûå ìíîæåñòâà.
   2.4.2. Øàð Br (a) åñòü îòêðûòîå ìíîæåñòâî.
¶ Äëÿ ëþáîãî x ∈ Br (a) ïîëîæèì ε = r − kx − ak > 0, òîãäà Bε (x) ⊂ Br (a), òàê êàê
∀y ∈ Bε (x) (ky − xk < ε) è ky − ak 6 ky − xk + kx − ak < ε + kx − ak = r. ¤
   2.4.3. Çàìêíóòûé øàð B r (a) åñòü çàìêíóòîå ìíîæåñòâî.

     3. ÑÂÎÉÑÒÂÀ ÎÒÊÐÛÒÛÕ È ÇÀÌÊÍÓÒÛÅ ÌÍÎÆÅÑÒÂ
              Â ÅÂÊËÈÄÎÂÛÕ ÏÐÎÑÒÐÀÍÑÒÂÀÕ
   3.1. Îòêðûòûå ìíîæåñòâà â åâêëèäîâîì ïðîñòðàíñòâå îáëàäàþò ñâîéñòâàìè:
   3.1.1. Äîïîëíåíèå îòêðûòîãî ìíîæåñòâà çàìêíóòî.
   3.1.2. A îòêðûòî ⇔ A = A◦ .
   3.1.3. A◦◦ = A◦ , ò.å. âíóòðåííîñòü ëþáîãî ìíîæåñòâà åñòü îòêðûòîå ìíîæåñòâî.
   3.1.4. A◦ åñòü íàèáîëüøåå îòêðûòîå ìíîæåñòâî, ñîäåðæàùååñÿ â ìíîæåñòâå A.
   3.2. Îòêðûòûå è çàìêíóòûå ìíîæåñòâà â åâêëèäîâîì ïðîñòðàíñòâå îáëàäàþò
ñâîéñòâàìè:
   3.2.1. Äîïîëíåíèå çàìêíóòîãî ìíîæåñòâà îòêðûòî.
   3.2.2. A çàìêíóòî ⇔ A = A− .
   3.2.3. A−− = A− , ò.å. çàìûêàíèå ëþáîãî ìíîæåñòâà åñòü çàìêíóòîå ìíîæåñòâî.
   3.2.4. A− åñòü íàèìåíüøåå çàìêíóòîå ìíîæåñòâî, ñîäåðæàùåå A.
   3.3. Ñâîéñòâà îòêðûòûõ è çàìêíóòûõ ìíîæåñòâ, ñâÿçàííûå ñ îïåðàöèÿìè îáú-
åäèíåíèÿ è ïåðåñå÷åíèÿ:
                                                 n
                                                 \
   3.3.1. Åñëè A1 , . . . , An îòêðûòû, òî A =         An  îòêðûòîå ìíîæåñòâî.
                                                 i=1
   3.3.2. Îáúåäèíåíèå ëþáîãî ñåìåéñòâà îòêðûòûõ ìíîæåñòâ îòêðûòî.
   3.3.3. Îáúåäèíåíèå êîíå÷íîãî ñåìåéñòâà çàìêíóòûõ ìíîæåñòâ çàìêíóòî.



                                            6

Страницы