Пределы и непрерывность отображений в евклидовых пространствах. Задания для индивидуальной работы по курсу "Математический анализ". Насыров С.Р - 5 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

E n
r > 0 a ∈ E
B
r
(a) = {x ∈ E : kx − ak < r}. B
r
(a)
r− a
∨
B
r
(a) = B
r
(a)\{a}
∨
a ∈ B
r
(a)
0 < r
1
< r
2
⇒ B
r
1
(a) ⊂ B
r
2
(a)
B
r
(a) = {x ∈ E : kx − ak 6 r} r
a
B
r
(a) ⊂ B
r
(a) 0 < r
1
< r
2
B
r
1
(a) ⊂ B
r
2
(a)
a b ∈ E a 6= b ∃r > 0 B
r
(a) ∩ B
r
(b) = ∅
A ⊂ E x ∈ A A
∃r > 0 (B
r
(x) ⊂ A) A
A A
◦
A
◦
= {x ∈ A : ∃r > 0 (B
r
(x) ⊂ A)}.
x ∈ E A
A
∀r > 0 (B
r
(x) ∩ A 6= ∅).
x ∈ E A
A x
∃r > 0 (B
r
(x) ∩ A = {x}).
x ∈ E A
A x
∀r > 0 (
∨
B
r
(x) ∩ A 6= ∅).
A A
A
−
A
−
= {x ∈ A|∀r > 0 (B
r
(x) ∩ A) 6= ∅}.
A
◦
⊂ A ⊂ A
−
A ⊂ D ⇒ A
◦
⊂ D
◦
A
−
⊂ D
−
A
◦c
= A
c−
x ∈ A
◦c
⇔ ∀r > 0 (B
r
(x) 6⊂ A) ⇔ ∀r > 0 (B
r
(x) ∩ A
c
6= ∅) ⇔ x ∈ A
c−
) ¤
A
−c
= A
c◦
A A
c
 2. ÂÍÓÒÐÅÍÍÎÑÒÜ, ÇÀÌÛÊÀÍÈÅ È ÃÐÀÍÈÖÀ ÌÍÎÆÅÑÒÂÀ.
         ÎÒÊÐÛÒÛÅ È ÇÀÌÊÍÓÒÛÅ ÌÍÎÆÅÑÒÂÀ
   Ïóñòü E  n-ìåðíîå åâêëèäîâî ïðîñòðàíñòâî.
   2.1. Îòêðûòûì øàðîì ðàäèóñà r > 0 ñ öåíòðîì â òî÷êå a ∈ E íàçûâàåò-
ñÿ ìíîæåñòâî Br (a) = {x ∈ E : kx − ak < r}. Øàð Br (a) íàçûâàåòñÿ òàêæå
                                              ∨
r−îêðåñòíîñòüþ òî÷êè a, à ìíîæåñòâî B r (a) = Br (a)\{a}  åå ïðîêîëîòîé îêðåñò-
íîñòüþ ( ∨ -îêðåñòíîñòüþ).
   2.1.1. a ∈ Br (a).
   2.1.2. 0 < r1 < r2 ⇒ Br1 (a) ⊂ Br2 (a).
   2.1.3. B r (a) = {x ∈ E : kx − ak 6 r} íàçûâàåòñÿ çàìêíóòûì øàðîì ðàäèóñà r ñ
öåíòðîì â òî÷êå a.
   2.1.4. Br (a) ⊂ B r (a); ïðè 0 < r1 < r2       B r1 (a) ⊂ Br2 (a).
   2.1.5. Åñëè a,b ∈ E , a 6= b, òî ∃r > 0 ò÷î Br (a) ∩ Br (b) = ∅.
   2.2. Ïóñòü A ⊂ E . Òî÷êà x ∈ A íàçûâàåòñÿ âíóòðåííåé òî÷êîé ìíîæåñòâà A,
åñëè ∃r > 0 (Br (x) ⊂ A). Ìíîæåñòâî âñåõ âíóòðåííèõ òî÷åê A íàçûâàåòñÿ âíóòðåí-
íîñòüþ A è îáîçíà÷àåòñÿ A◦ :

                          A◦ = {x ∈ A : ∃r > 0 (Br (x) ⊂ A)}.

Òî÷êà x ∈ E íàçûâàåòñÿ òî÷êîé ïðèêîñíîâåíèÿ ìíîæåñòâà A, åñëè êàæäàÿ åå
îêðåñòíîñòü ñîäåðæèò õîòÿ áû îäíó òî÷êó èç A:

                                ∀r > 0 (Br (x) ∩ A 6= ∅).

Òî÷êà x ∈ E íàçûâàåòñÿ èçîëèðîâàííîé òî÷êîé ìíîæåñòâà A, åñëè ñóùåñòâóåò åå
îêðåñòíîñòü, êîòîðàÿ íå ñîäåðæèò íè îäíîé òî÷êè èç A, çà èñêëþ÷åíèåì x:

                               ∃r > 0 (Br (x) ∩ A = {x}).

Òî÷êà x ∈ E íàçûâàåòñÿ ïðåäåëüíîé òî÷êîé ìíîæåñòâà A, åñëè êàæäàÿ åå îêðåñò-
íîñòü ñîäåðæèò õîòÿ áû îäíó òî÷êó èç A, îòëè÷íóþ îò x:
                                         ∨
                                ∀r > 0 (B r (x) ∩ A 6= ∅).

Ìíîæåñòâî âñåõ òî÷åê ïðèêîñíîâåíèÿ A íàçûâàåòñÿ çàìûêàíèåì A è îáîçíà÷àåòñÿ
A− :
                     A− = {x ∈ A|∀r > 0 (Br (x) ∩ A) 6= ∅}.

   2.2.1. A◦ ⊂ A ⊂ A− .
   2.2.2. (ìîíîòîííîñòü): A ⊂ D ⇒ A◦ ⊂ D◦ , A− ⊂ D− .
   2.2.3. A◦c = Ac− .
¶ x ∈ A◦c ⇔ ∀r > 0 (Br (x) 6⊂ A) ⇔ ∀r > 0 (Br (x) ∩ Ac 6= ∅) ⇔ x ∈ Ac− ). ¤
   2.2.4. A−c = Ac◦ . Óêàçàíèå: â 2.2.3. çàìåíèòü A íà Ac .


                                              5

Страницы