Пределы и непрерывность отображений в евклидовых пространствах. Задания для индивидуальной работы по курсу "Математический анализ". Насыров С.Р - 4 стр.

                       1. ÅÂÊËÈÄÎÂÛ ÏÐÎÑÒÐÀÍÑÒÂÀ
   1.1. Ðàññìîòðèì ìíîæåñòâî Cn , ýëåìåíòàìè êîòîðîãî ÿâëÿþòñÿ óïîðÿäî÷åííûå
íàáîðû x = (x1 , . . . , xn ) èç n êîìïëåêñíûõ ÷èñåë xi . Ââåäåì íà ýòîì ìíîæåñòâå äâå
îïåðàöèè:
   1.1.1. îïåðàöèÿ ñëîæåíèÿ : äëÿ ëþáûõ íàáîðîâ x = (x1 , . . . , xn ), y = (y 1 , . . . , y n )
ïîëîæèì x + y = (x1 + y 1 , . . . , xn + y n ),
   1.1.2. îïåðàöèÿ óìíîæåíèÿ íà ñêàëÿð : äëÿ ëþáîãî x = (x1 , . . . , xn ) è λ ∈ C
ïîëîæèì λx = (λx1 , . . . , λxn ).
   1.2. Ìíîæåñòâî Cn ñ îïåðàöèåé ñëîæåíèÿ 1.1.1. ÿâëÿåòñÿ êîììóòàòèâíîé ãðóï-
ïîé. Ïðè ýòîì åäèíèöà ýòîé ãðóïïû  ýëåìåíò θ = (0, . . . , 0) ∈ Cn .
   1.3. Îïåðàöèè 1.1.1. è 1.1.2. îáëàäàþò ñâîéñòâàìè:
   1.3.1. λ(x + y) = λx + λy,
   1.3.2. (λ + µ)x = λx + µx,                (λ, µ ∈ C; x, y ∈ Cn )
   1.3.3. λ(µx) = (λµ)x,
   1.3.4. 1 · x = x.
   1.4. Íîðìîé ýëåìåíòà x = (x1 , . . . , xn ) ∈ Cn íàçûâàåòñÿ ÷èñëî
                                           Ã n             !1/2
                                            X
                                                     i 2
                                   kxk ≡           |x |           .
                                             i=1

   1.5. Íîðìà îáëàäàåò ñâîéñòâàìè:
   1.5.1. kxk = 0 òòîãäà x = θ,
   1.5.2. kλxk = |λ|kxk (λ ∈ C),
   1.5.3. kx + yk ≤ kxk + kyk.
   1.6. Ìíîæåñòâî Cn ñ îïåðàöèÿìè 1.1.1, 1.1.2 è íîðìîé 1.4 íàçûâàåòñÿ n-ìåðíûì
åâêëèäîâûì ïðîñòðàíñòâîì.
   Âñå ñêàçàííîå ìîæíî ïîâòîðèòü ïðèìåíèòåëüíî ê ìíîæåñòâó Rn óïîðÿäî÷åííûõ
íàáîðîâ èç n âåùåñòâåííûõ ÷èñåë (ïðè ýòîì îïåðàöèÿ 1.1.2 òàêæå îïðåäåëÿåòñÿ
äëÿ λ ∈ R). Òàêèì îáðàçîì ìû ïðèõîäèì ê âåùåñòâåííîìó n-ìåðíîìó åâêëèäî-
âó ïðîñòðàíñòâó Rn . Ïîä n-ìåðíûì åâêëèäîâûì ïðîñòðàíñòâîì áóäåì ïîíèìàòü
âåùåñòâåííîå èëè êîìïëåêñíîå (n−ìåðíîå) åâêëèäîâî ïðîñòðàíñòâî.
   1.7. Ïóñòü E (= Cn èëè Rn )  åâêëèäîâî ïðîñòðàíñòâî. Ôóíêöèÿ d : E × E → R,
çàäàííàÿ ðàâåíñòâîì d(x, y) = kx − yk (x, y ∈ E), íàçûâàåòñÿ åâêëèäîâîé ìåòðèêîé
â E . Èç ýòîãî îïðåäåëåíèÿ ñëåäóåò: d(x, y) = d(x − y, θ) (x, y ∈ E).
   Îòìåòèì ñëåäóþùèå ñâîéñòâà ôóíêöèè d :
   1.7.1. d(x, y) = 0 òòîãäà x = y ,
   1.7.2. d(x, y) = d(y, x) (x, y ∈ E),
   1.7.3. d(x, y) 6 d(x, z) + d(z, y) (x, y, z ∈ E).
   1.8. Â åâêëèäîâîì ïðîñòðàíñòâå ðàâåíñòâî λx = θ ñïðàâåäëèâî òòîãäà λ = 0 èëè
x = θ.



                                               4