Пределы и непрерывность отображений в евклидовых пространствах. Задания для индивидуальной работы по курсу "Математический анализ". Насыров С.Р - 7 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

∂A = ∂A
c
A ∩
∂A = ∅
A ⇔ ∂A ⊂ A
n E
x
(·)
: N → E (x
m
)
m∈
(x
m
) x
m
m−
x
m
= (x
1
m
, . . . , x
n
m
).
(x
m
)
m∈
n
(x
k
m
)
m∈
, k = 1, . . . , n.
(x
m
) x E
∀ε ∃N ∈ N ∀m > N (kx
m
− xk < ε ),
∀ε ∃N ∈ N ∀m > N (x
m
∈ B
ε
(x))
x = lim
m
x
m
x
m
→ x (m → ∞)
x
m
→ x x
k
m
→ x
k
, k = 1, . . . , n x = (x
1
, . . . , x
n
)
x
m
→ x x
m
→ y ⇒ x = y
x
m
→ x y
m
→ y x
m
+ y
m
→ x + y x
m
→ x, λ
m
→
→ λ (λ
m
, λ ∈ C) λ
m
x
m
→ λx.
x
m
E
∀ε ∃N ∈ N ∀m, l > N (kx
m
− x
l
k < ε).
E
x
k
m
, k = 1, . . . , n
E
A ⊂ E
   3.3.4. Ïåðåñå÷åíèå ëþáîãî ñåìåéñòâà çàìêíóòûõ ìíîæåñòâ åñòü çàìêíóòîå ìíî-
æåñòâî.
   3.4.1. Ãðàíèöà ëþáîãî ìíîæåñòâà åñòü çàìêíóòîå ìíîæåñòâî.
   3.4.2. ∂A = ∂Ac .
   3.4.3. Ìíîæåñòâî îòêðûòî òòîãäà îíî íå ñîäåðæèò ñâîèõ ãðàíè÷íûõ òî÷åê: A ∩
∂A = ∅.
   3.4.4. A çàìêíóòî ⇔ ∂A ⊂ A.

                4. ÂÅÊÒÎÐÍÛÅ ÏÎÑËÅÄÎÂÀÒÅËÜÍÎÑÒÈ
   4.1. Ïîñëåäîâàòåëüíîñòüþ â n-ìåðíîì åâêëèäîâîì ïðîñòðàíñòâå E íàçûâàåòñÿ
îòîáðàæåíèå x(·) : N → E . Ïîñëåäîâàòåëüíîñòè îáîçíà÷àþòñÿ (xm )m∈N èëè ïðîñòî
(xm ). Ïóñòü âåêòîð xm (m−é ÷ëåí íàøåé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè) èìååò êîîðäèíàòû

                                     xm = (x1m , . . . , xnm ).

Òàêèì îáðàçîì, çàäàíèå âåêòîðíîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè (xm )m∈N ôàêòè÷åñêè ðàâ-
íîñèëüíî çàäàíèþ n ÷èñëîâûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé

                                   (xkm )m∈N , k = 1, . . . , n.

   4.2. Ãîâîðÿò, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (xm ) ñõîäèòñÿ ê âåêòîðó x â E , åñëè

                           ∀ε ∃N ∈ N ∀m > N (kxm − xk < ε),

èëè, ÷òî òî æå ñàìîå, ∀ε ∃N ∈ N ∀m > N (xm ∈ Bε (x)).  ýòîì ñëó÷àå ïèøóò :
x = lim xm , èëè xm → x (m → ∞).
    m
   4.3. Îòìåòèì ýëåìåíòàðíûå ñâîéñòâà ïðåäåëà ïîñëåäîâàòåëüíîñòè:
   4.3.1. xm → x òòîãäà xkm → xk , k = 1, . . . , n (çäåñü x = (x1 , . . . , xn )).
   4.3.2. Åäèíñòâåííîñòü ïðåäåëà. Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü íå ìîæåò ñõîäèòüñÿ ê äâóì
ðàçëè÷íûì òî÷êàì: xm → x, xm → y ⇒ x = y .
  4.3.3. Åñëè xm → x, ym → y , òî xm + ym → x + y ; åñëè xm → x, λm →
→ λ (λm , λ ∈ C), òî λm xm → λx.
   4.4. Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü xm â E íàçûâàåòñÿ ôóíäàìåíòàëüíîé (èëè ïîñëåäîâà-
òåëüíîñòüþ Êîøè), åñëè

                          ∀ε ∃N ∈ N ∀m, l > N (kxm − xl k < ε).

   4.4.1 Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü â E ôóíäàìåíòàëüíà òòîãäà ôóíäàìåíòàëüíà êàæäàÿ
÷èñëîâàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü xkm , k = 1, . . . , n.
   4.4.2 Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ôóíäàìåíòàëüíà â E òòîãäà îíà ñõîäèòñÿ.
   Óêàçàíèå: âîñïîëüçóéòåñü 4.4.1.
   4.5. Ïóñòü A ⊂ E .


                                                 7

Страницы