Методическое пособие по решению задач геометрического моделирования в системе MathCAD. Найханов В.В. - 31 стр.

                                             31

Геометрическое моделирование
1. Прямые в пространстве
      Из курса аналитической геометрии известно, что прямую на
плоскости можно задать уравнением: Ax + Bx + C = 0 . Если рассматривать
прямую в трехмерном пространстве, то её уравнение есть:
x − x1   y − y1   z − z1
       =        =        , если она определена двумя точками                     ( x1 , y1 , z1 )   и
x2 − x1 y2 − y1 z2 − z1
( x2 , y2 , z z ) . В плоском случае для прямой существует аналогичное уравнение:
 x − x1           y − y1
            =            , которое можно преобразовать к виду: Ax + Bx + C = 0 . В
x2 − x1 y2 − y1
трехмерном же случае объединить в одном уравнении все три координаты не
получится. Это можно объяснить следующим образом. В плоском случае,
прямая является одномерным многообразием пространства размерности 2, в
трехмерном случае она является одномерным многообразием пространства
размерности 3.
      Но существует иное представление прямой, которое имеет один и тот
же вид, независимо от размерности пространства. Согласно своему
определению, прямая – это наикратчайшая линия, соединяющая две точки A
и B . Положение любой точки на прямой l можно задать значением
                                r r
                              ( B − A)                  r       r
параметра t : l (t ) = A + t * r r или l (t ) = A + t * n , где n – единичный вектор по
                                B−A
направлению от точки A к точке B .
             Таким образом, мы задали прямую как функциональную
                                                                      r
параметрическую зависимость. Вообще, вектор n не должен быть
обязательно единичным. Но в этом случае параметр t не достаточно
наглядно отображает размерность пространства, в котором расположена
исследуемая прямая. Представление прямой как параметрической функции
удобно для различных изысканий. Весьма удобно этим пользоваться при
проведении математических исследований, связанных с компьютерной
обработкой.
             Как правило, не возникает неожиданных ситуаций, когда прямая
параллельна координатным осям или плоскостям.
             Для тех, кто имеет опыт работы с прямыми при компьютерной
обработке, помнят, что часто приходилось искусственно исключать такие
ситуации, чтобы избежать деления на 0,что вызывает сбой программ. Это
возникает при использовании представления прямой: y = ax + b .
           r
             Рассмотрим rнебольшой пример. Пусть заданы                 r r
                                                                                 две прямые:
                   r                       r
l1 (t ) = T1 + t * n1 , l2 (t ) = T2 + t * n2 , проходящие через точки T1 , T2 соответственно.
Пусть точка P является точкой пересечения этих прямых. Поставим перед
собой задачу найти точку P пересечения прямых l1 (t ) и l2 (t ) . Будет ошибкой
                                                              r    r  r       r
сразу составить векторное уравнение: T1 + t * n1 = T2 + t * n2 . Дальнейшая
обработка такого уравнения непременно приведет к ошибке. Пример на