Методическое пособие по решению задач геометрического моделирования в системе MathCAD. Найханов В.В. - 34 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВСГУТУ | Улан-Удэ

Составители: 

Рубрика: 

34
2. Прямая и плоскость в пространстве
Любую плоскость в пространстве можно задать точкой O и парой
векторов
1
n
r
и
2
n
r
. в Параметрическое уравнение плоскости выглядит
следующим образом:
2211
** ntntOC ++=
r
r
. Рассмотрим прямую, заданную в
параметрическом виде: ntTtl
r
r
*)( += .
Пусть прямая
l
пересекает плоскость Σ в точке
P
. Найдем эту точку
P
. Для этого проведем прямую
k
через точку O , принадлежащую плоскости
Σ, и найдем общий перпендикуляр
СP между прямыми
l
и
k
. Если точки
P
и
C
совпадают, т.е.
0=− CP
r
r
, то данную задачу можно решить двумя
способами.
Рассмотрим первый случай. По условию прямая
k
проходит через
точку O . А так как вектор
[
]
21
nn
r
r
×
является нормалью к векторам n
1
и n
2
, то
[]
0)(
21
=×⋅− nnOC
r
r
r
r
. Далее, мы допустили, что C
перпендикулярен прямой
l
,
т.е.
0)( =⋅− nCP
r
r
r
. А так как мы стремимся к тому, чтобы точки
P
и
C
совпадали, то имеем
0=− CP
r
r
. Таким образом, мы получили систему
уравнений:
[]
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
=−
=⋅−
=×⋅−
0
0)(
0)(
21
CP
nCP
nnOC
r
r
r
r
r
rr
r
r
. Отсюда при помощи элементарных
преобразований можно найти точку
C
и параметр
t
.
Рассмотрим второй случай. Он отличается лишь тем, что в нем мы
вместо перпендикулярности векторов )( CP
r
r
− и n
r
взяли условие, что
n
r
T
C
P
O
2
n
r
1
n
r
Σ
l
k
Рис.7 Пересечение прямой и плоскости 
                                        34


2. Прямая и плоскость в пространстве
     Любую плоскость в пространстве можно задать точкой O и парой
          r     r
векторов n1 и n2 . в Параметрическое уравнение плоскости выглядит
                    r r
следующим образом: C = O + t1 * n1 + t 2 * n2 . Рассмотрим прямую, заданную в
                               r       r
параметрическом виде: l (t ) = T + t * n .



                                        l       k   Σ

                                   C
                                            P
                     r
                     n2

                          r
                 O        n1
                                    r
                                    n
                               T
                 Рис.7 Пересечение прямой и плоскости

      Пусть прямая l пересекает плоскость Σ в точке P . Найдем эту точку
P . Для этого проведем прямую k через точку O , принадлежащую плоскости
Σ, и найдем общий перпендикуляр СP между прямыми l и k . Если точки P
                        r r
и C совпадают, т.е. P − C = 0 , то данную задачу можно решить двумя
способами.
         Рассмотрим первый случай. По условию прямая k проходит через
                                           r r
точку O . А так как вектор [n1 × n2 ] является нормалью к векторам n1 и n2, то
  r r r r
(C − O) ⋅ [n1 × n2 ] = 0 . Далее, мы допустили, что CP перпендикулярен прямой l ,
       r r r
т.е. ( P − C ) ⋅ n = 0 . А так как мы стремимся к тому, чтобы точки P и C
                                 r         r
совпадали, то имеем P − C = 0 . Таким образом, мы получили систему
                          r r
                     ⎧(C − O) ⋅ [nr × nr ] = 0
                     ⎪⎪ r r r 1 2
уравнений: ⎨(P − C           r
                               )⋅n = 0         . Отсюда при помощи элементарных
                      ⎪  r
                      ⎪⎩ P − C = 0
преобразований можно найти точку C и параметр t .
         Рассмотрим второй случай. Он отличается лишь тем, что в нем мы
                                                       r r   r
вместо перпендикулярности векторов ( P − C ) и n взяли условие, что

Страницы