Методическое пособие по решению задач геометрического моделирования в системе MathCAD. Найханов В.В. - 36 стр.

                                                   36

3. Вращение вектора
         В процессе проектирования при помощи ЭВМ часто возникает
необходимость описывать отдельные части проектируемого объекта,
находящиеся в различных системах координат. Т.е. в базу данных
компьютера необходимо ввести информацию, описывающую преобразование
координат. Это делается для того, чтобы определить относительное
положение и ориентацию частей объекта. Иногда возникают случаи, когда
объект обладает той или иной симметрией. Тогда полное представление об
объекте на основании симметрии можно получить при помощи вращений,
сдвигов и отражений.
         Рассмотрим один из примеров преобразования координат: вращение
                      r
некоторого вектора n0 = BK относительно произвольной прямой AC , т.е.
r r
n0 ⋅ k = 0 .

                                                                   B        С
                                         r
                                   r     e3                                r
                                                           r               n0
                                   k                       n       ϕ
                               A                               N           K

                                        O     r
                                   r          e2
                                   e1
                     Рис.8 Поворот вектора вокруг заданной оси
            r
Если вектор n 0 повернуть так, как показано на рисунке 8, то можно видеть,
что компонента BK при повороте на угол ϕ становится новой компонентой
BN .
      Приведем теперь математическое обоснование данного действия. Для
                                                   r   r
большей наглядности допустим, что векторы n 0 и n - единичные. Наряду с
исходной системой координат O, e1 , e 2 , e3 зададим новую систему координат с
началом в точке B . Ее единичные векторы h1 , h2 и h3 выразим следующим
                         r    r
              r          n0 × k     r
образом: h1 = n 0 , h2 = r r , h3 = k .
                         n0 × k
                                                                       r
          Определим координаты искомого вектора n в исходной системе
координат O, e1 , e 2 , e3 относительно его координат в новой системе B, h1 , h2 , h3 .
В силу единственностиr разложения                     r          r
                                                                      вектора по базису получим:
r        r          r          r
n = n1 ⋅ e1 + n 2 ⋅ e 2 + n3 ⋅ e3 = n1′ ⋅ h1 + n 2′ ⋅ h2 + n3′ ⋅ h3 . Выразим координаты n i через
                                 r                                                     r
ni′ . Умножая вектор n скалярно сначала на единичный вектор e1 , а затем на
                                                             r r              r r             r r
                                                  n1 = n1′ ⋅ h1 ⋅ e1 + n 2′ ⋅ h2 ⋅e 1 + n3′ ⋅ h3 ⋅ e1
r        r                                        r         r r              r r               r r
e 2 и на e3 , получили следующие выражения: n = n1′ ⋅ h1 ⋅ e 2 + n 2′ ⋅ h2 ⋅ e 2 + n3′ ⋅ h3 ⋅ e 2 .
                                                  r         r r              r r               r r
                                                  n = n1′ ⋅ h1 ⋅ e3 + n 2′ ⋅ h2 ⋅ e3 + n3′ ⋅ h3 ⋅ e3
                             r r
Т.е. получили: ni = ∑ n ′j ⋅ h j ⋅ ei . Отсюда следует, что матрица перехода A
                           j