Электродинамика. Нетребко Н.В - 13 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§1.Электрическое поле
13
Пример 1.4. Заряд
Q
равномерно распределен по кольцу с радиусом
a
.
Найдите напряженность электрического поля в произвольной точке на
перпендикуляре к плоскости кольца,
восстановленном из его центра.
Решение.
Совместим плоскость yx0 с
плоскостью кольца, а ось
z0 −
с его осью
симметрии. Выберем на кольце произвольную
точку N (см. рис.1.8), определяемую углом
ψ
,
отсчитываемым от оси x0 в плоскости кольца.
Дадим углу
ψ
малое приращение
ψ
d .
Полученный отрезок кольца несет заряд
ψ
π
d
Q
dq
2
= . Заряд dq создает в точке
(
)
zM ,0,0 напряженность
22
0
222
0
8
1
4
1
za
Qd
za
dq
dE
+
⋅=
+
⋅=
ψ
επ
πε
.
(1.8)
Вектор dE направлен вдоль отрезка NM и его проекции на оси
,0,0 yx z0 будут равны
( )
( )
2/3
22
0
2
cos
8
1
cossin
za
dQa
dEdE
x
+
⋅−=+=
ψ
ψ
επ
ψπα
,
( )
( )
2/3
22
0
2
cos
8
1
sinsin
za
dQa
dEdE
y
+
⋅−=+=
ψ
ψ
επ
ψπα
(1.9)
( )
2/3
22
0
2
22
8
1
cos
za
Qzd
za
zdE
dEdE
z
+
⋅=
+
==
ψ
επ
α
.
Интегрируя выражения (1.9) по
ψ
от 0 до
π
2 , находим проекции
поля, создаваемого в точке
M
зарядом
q
, распределенным по всему кольцу:
Рис.1.8 
§1.Электрическое поле                                                                                           13

Пример 1.4. Заряд Q равномерно распределен по кольцу с радиусом a .
Найдите напряженность электрического поля в произвольной точке на
перпендикуляре     к     плоскости   кольца,
восстановленном из его центра.
Решение.    Совместим      плоскость   x0 y с
плоскостью кольца, а ось 0 z − с его осью
симметрии. Выберем на кольце произвольную
точку N (см. рис.1.8), определяемую углом ψ ,
отсчитываемым от оси 0 x в плоскости кольца.
Дадим   углу    ψ    малое     приращение              dψ .
Полученный отрезок кольца несет                     заряд
      Q
dq =       dψ . Заряд dq создает в                  точке
     2π
M (0,0, z ) напряженность                                                                     Рис.1.8

                 1      dq       1       Qdψ
        dE =        ⋅         =        ⋅          .
               4πε 0 a 2 + z 2 8π 2 ε 0 a 2 + z 2
                          (1.8)

           Вектор dE направлен вдоль отрезка NM и его проекции на оси
0 x, 0 y , 0 z будут равны

                                               1               Qa cosψdψ
        dE x = dE sin α cos(π + ψ ) = −                ⋅                                  ,
                                            8π 2 ε 0           (a   2
                                                                        + z2   )   3/ 2


                                               1               Qa cosψdψ
        dE y = dE sin α sin (π + ψ ) = −               ⋅                                                (1.9)
                                            8π 2 ε 0       (a       2
                                                                        + z2   )
                                                                               3/ 2


                              zdE               1                       Qzdψ
        dE z = dE cos α =               =                  ⋅                              .
                              2
                             a +z   2       8π ε 0
                                                2
                                                               (a   2
                                                                        + z2   )   3/ 2



        Интегрируя выражения (1.9) по ψ от 0 до 2π , находим проекции
поля, создаваемого в точке M зарядом q , распределенным по всему кольцу:

Страницы