Электродинамика. Нетребко Н.В - 14 стр.

14                                                                            §1.Электрическое поле


                                                      2π
                  1                     Qz                       1           Qz
                                              ) ∫0
        Ez =              ⋅                        dψ =      ⋅                  ,
               8π 2 ε 0       (a   2
                                        +z   2 3/ 2     4πε 0 (a 2 + z 2 )3 / 2
                                                           2π
                      1                      Qa
                                                   ) ∫
        Ey = −                ⋅                        sin ψdψ = 0 ,                        (1.10)
                 8π 2 ε 0          (a   2
                                            + z2
                                                   3/ 2
                                                           0


                                                           2π
                      1                      Qa
                                                   ) ∫
        Ex = −                ⋅                        cosψdψ = 0 .
                 8π 2 ε 0          (a   2
                                            + z2
                                                   3/ 2
                                                           0

       При решении задачи можно было бы воспользоваться симметрией
распределения заряда. Для этого выберем на кольце две точки N и N ' на
противоположных концах диаметра. Точка N характеризуется углом ψ ,
отсчитываемым от оси 0 x . Дадим углу ψ малое приращение dψ . Получим
два одинаковых заряда                       dq . Поле, создаваемое ими, было найдено в
примере 2, оно направлено по оси 0 z и его модуль задается выражением
                                                     Q
(1.6), в котором заряд q следует заменить на dq =       dψ . Интегрируя
                                                    2π
далее по углу ψ от 0 до π , находим поле, создаваемое всеми зарядами на
кольце, то есть опять приходим к выражению для E z (1.10).
        Поле в центре кольца                           (z = 0)   равно нулю. При z >> a поле
                                                                                         1    Q
совпадает с полем точечного заряда Q и равно E z ≈                                          ⋅    . Поле
                                                                                       4πε 0 z 2
                                                                                   a
принимает максимальное значение при                                  z = z max =       , определяемым
                                                                                   2
               dE z
условием             = 0 . Максимальное значение напряженности поля при этом
                dz
                    1       Q
E z (z max ) =            ⋅   .
                6 3πε 0 a 2