Электродинамика. Нетребко Н.В - 15 стр.

§1.Электрическое поле                                                                                                          15

Пример 1.5.             На сфере радиусом a равномерно распределен заряд Q .
Найдите напряженность электрического поля в произвольной точке
пространства M .
Решение. Проведем ось 0 z из центра
сферы через выбранную точку М (см.
рис.1.9). Разобьем сферу на кольца. В
сферической системе координат r ,θ , ϕ ,
кольцо на сфере задается углом θ , а его
ширина - приращением угла dθ . На нем
находится                            заряд                                                          Рис.1.9
      Q                   Q
dq =       2πa sin θ adθ = sin θdθ .
     4πa 2                2
       Расчет поля проведем для трех случаев:
            1) поле вне сферы z > a .
            Согласно (1.10) поле, создаваемое в точке М этим зарядом, равно
                             1           Q sin θ (z − a cos θ )dθ
             dE z =              ⋅                                                    .
                        8πε 0        ([z − a cosθ ]
                                                  2
                                                      + a 2 sin 2 θ       )3/ 2



            Поле от всей сферы получим, проинтегрировав по углу θ от 0 до
π . Применяя замену переменной t = cos θ , находим
        Q
             +1
                    (z − at )dt               Q
                                                  1
                                                      [(2z   2
                                                                                  )
                                                                 − 2azt + a 2 − a 2 dt    ]         Q
                                                                                                           [      (         ) ]
                                                                                                           I (1) + z 2 − a 2 I (3)
       8πε 0 ∫ (a 2 + z 2 − 2azt )3 / 2 16πε 0 z ∫
Ez =                                   =                                                      =
             −1                                  −1 (a 2 + z 2 − 2azt )3 / 2                      16πε 0 z
                                                                                                                  (1.11а)

                                                                              [                                   ]
                        1
                                         dt                       1
             I (n ) =
                                                                             2− n       2 −n
где                     ∫ (a 2 + z 2 − 2azt )n / 2     =
                                                             az (n − 2 )
                                                                         a−z      − a+z      .
                        −1

            Откуда окончательно

             Ez =
                             Q                            2  1
                               (a + z ) − (z − a ) + z − a 
                                                       2
                                                                    −( 1 
                                                                            =
                                                                                 Q
                                                                                      )  .
                     16πε 0 az      2
                                                              z − a z + a   4πε 0 z 2

Здесь учтено, что z > a .