Электродинамика. Нетребко Н.В - 131 стр.

§7. Магнитное поле квазистационарных токов                                  131

Пример 7.4. Найдите магнитную индукцию на оси соленоида, обмотка
которого содержит n0 витков на единицу длины. Ток, протекающий по
обмотке, равен I.
Решение. Соленоид – цилиндрическая катушка с током, состоящая из
большого числа витков проволоки, которые образуют винтовую линию. При
плотном расположении витков соленоид можно рассматривать как систему
последовательно соединенных круговых витков одинакового радиуса с
общей осью.
        Найдем распределение поля
вдоль оси соленоида B(z ) . Если n0
достаточно велико, то можно
заменить ток, текущий по виткам,
током, равномерно распределенным
по поверхности соленоида. Пусть
радиус соленоида равен R , а его
длина - l . Для вычисления поля в
                                             Рис.7.4
произвольной точке M на оси
выделим колечко с током шириной dz , центр которого расположен на
расстоянии z от M (рис. 7.4). Величина вклада dB этого колечка в B
равна согласно (7.19)

                    µ 0 dIR 2
        dB =                           .                           (7.20)
                (
               2 R2 + z2     )  3/ 2




Учитывая, что dI = In0 dz , проинтегрируем (7.20):

                           z0 + l
             µ 0 In0 R 2                   dz
        B=
                    2       ∫ (R 2 + z 2 )3 / 2 .
                            z 0


                                                          Rdβ
Заменив переменную интегрирования z = R ctg β ; dz = −           , найдем:
                                                         sin 2 β

             µ 0 In0
        B=              (cos β 2 − cos β1 )                        (7.21)
                2