Электродинамика. Нетребко Н.В - 137 стр.

§7. Магнитное поле квазистационарных токов                                                     137


                                                                   x2 y2
                                                                     +   = 1 (7.34)
                                                                   a2 b2

                                                     Совместим начало полярной системы
                                                     координат с центром эллипса. Вклад в
                                                                                        r
                                                     поле в точке M(0,0) элемента dl
                                                     направлен за плоскость рисунка (на
                     Рис.7.6                         рис.7.6 это обозначено символом ⊕ ).
Так     как          x = r cos ϕ ,       y = r sin ϕ ,      то,    учитывая     (7.34),   получим

              b                                c         a2 − b2
r=                         ,       где    ε=     =                    эксцентриситет      эллипса
       1− ε 2 cos 2 ϕ                          a           a

                                                            π
( 0 ≤ ε < 1 ). С помощью замены β =                      − ϕ формула (7.33) сводится к
                                                       2
полному              эллиптическому              интегралу    второго    рода     E (ε ) :
              π /2
       µ0 I                                 µ0 I
B0 =           ∫     1 − ε 2 sin 2 ϕ dβ =        E (ε ) .              Для            окружности
       πb                                   πb
               0

       µ0 I        µ I
B0 =        E (0) = 0 .
       πb           2b
        Если поместить начало полярной системы координат в фокус
эллипса, например в точку F1, а полярную ось направить к ближайшей
                                                                      b2
вершине, уравнение эллипса будет r =                                            . Используя (7.33),
                                                                a(1 + ε cos ϕ )
                               π
                        µ0 I       a(1 + ε cos ϕ )     µ Ia
найдем        BF1 =
                        2π     ∫         b 2
                                                   dϕ = 0 2 .
                                                        2b
                                                                     Нетрудно    убедиться,    что
                               0
r     r                                     µ I
BF1 = BF2 , а в случае окружности (a=b) B0 = 0 .
                                             2b

Пример 7.10. Найти векторный потенциал и индукцию магнитного поля,
создаваемого контуром с током I в произвольной точке на расстоянии,
много большем линейного размера контура.