Электродинамика. Нетребко Н.В - 147 стр.

§8. Магнитное поле в веществе                                                                     147

Пример 8.2. Катушка (соленоид) намотана на длинный прямой сердечник
из однородного магнетика с магнитной проницаемостью µ и имеет N
витков. Ток, протекающий по обмотке, равен I, длина соленоида l много
больше его радиуса R. Найдите индукцию и напряженность магнитного
поля на оси соленоида внутри сердечника и вне его.
Решение. Наличие сердечника не дает возможность воспользоваться
непосредственно формулой (7.4) для определения магнитного поля.
                                     Согласно гипотезе Ампера, поле в
                                     сердечнике создается как током I так
                                     и микротоками во всем сердечнике,
                                     совокупное         действие        которых
                                     равносильно действию добавочного
                                     (заранее неизвестного) тока I’,
                                     обтекающего поверхность сердечника
                                     (рис. 8.1). Тогда, по аналогии с
                                     примером        (7.Пр.4) (7.21), можно
               Рис.8.1               написать, что индукция поля на оси
соленоида в точке с координатой z, отсчитываемой от середины соленоида,
                                     z + l/2               z −l/2
равна B = Cf (z ) , где f (z ) =                   −                    , C –
                                  R + (z + l / 2)
                                   2             2
                                                       R + (z − l / 2)2
                                                         2


подлежащая определению константа. На оси сердечника напряженность
                            Cf (z )
магнитного поля равна H c =         , а на оси в воздухе вне соленоида
                                              µµ 0
       Cf (z )
Hb =             . По теореме о циркуляции, примененному к бесконечной
        µ0
силовой            линии,               совпадающей                 с       осью         соленоида,
∞         −l / 2       l/2               ∞

∫ Hdz = ∫ H b dz + ∫ H c dz + ∫ H b dz = IN .                   В       приближении          длинного
−∞         −∞         −l / 2            l/2
                               −l / 2           ∞                          −l / 2
          R                                                  C                         C
соленоида  << 1
          l                    ∫   H b dz =   ∫   H b dz =
                                                               µ0
                                                                    R, а     ∫ H c dz = µµ0 2(l − R ) ,
                                −∞              l/2                        −l / 2