Электродинамика. Нетребко Н.В - 151 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§8. Магнитное поле в веществе
151
величине зазора не всегда оправдано в случае больших значений µ. Если
dr
µ
<<
, то
d
IN
H
c
µ
≈ ,
d
IN
H
з
= ,
d
IN
B
0
µ
≈ .
Пример 8.5.
Шар радиусом R из однородного магнетика с магнитной
проницаемостью µ вносится в однородное магнитное поле с индукцией
0
B
r
.
Найдите индукцию магнитного поля внутри и вне шара.
Решениее. В отсутствие токов проводимости 0rot =H
r
, а поскольку
HB
r
r
µµ
0
= и
µ
не зависит от координат, то и
0rot =B
r
. Это дает
возможность искать поле и вне, и внутри шара в виде суперпозиции
известных решений, удовлетворяющих этому уравнению и уравнению
0div =B
r
. Попробуем найти решение этой задачи в виде суммы
однородного поля
1
B
r
и поля магнитного диполя
m
p
r
, т.е.
(
)
−+=
35
0
1
3
4
r
p
r
r
rp
BB
mm
r
r
r
r
r
v
π
µ
, причем векторы В
1
и p
m
различны для
внутренней (i) и внешней (e) областей:
( ) ( )
(
)
(
)
(
)
−+=
35
0
1
3
4
r
p
r
r
rp
BB
i
m
i
m
ii
r
r
r
r
r
v
π
µ
( ) ( )
(
)
(
)
(
)
−+=
35
0
1
3
4
r
p
r
r
rp
BB
e
m
e
m
ee
r
r
r
r
r
v
π
µ
.
Четыре неизвестных вектора
(
)
(
)
(
)
(
)
i
m
e
m
ee
ppBB ,,,
11
r
r
вне и внутри шара найдем из
условий на границе шара (8.9) и на бесконечности, а также из условия
ограниченности поля в центре шара. Из последнего условия следует, что
(
)
0=
i
m
p
r
и поэтому поле
(
)
i
B
r
внутри шара однородно:
(
)
(
)
ii
BB
1
r
r
= . Так как
при
→
r
поле однородно по условию, то
(
)
0
1
BB
e
r
r
= , и для решения задачи
осталось подобрать вектора
(
)
i
B
1
r
и
(
)
e
m
p
r
. Тогда будет:
(
)
(
)
ii
BB
1
r
r
= ,
( ) ( )
(
)
(
)
(
)
−+=
35
0
0
3
4
r
p
r
r
rp
BB
e
m
e
m
ee
r
r
r
r
r
v
π
µ
. 
§8. Магнитное поле в веществе                                                       151

величине зазора не всегда оправдано в случае больших значений µ. Если
                         IN             IN     µ IN
r << µd , то H c ≈            , Hз =       , B≈ 0 .
                         µd              d      d

Пример 8.5. Шар радиусом R из однородного магнетика с магнитной
                                                                  r
проницаемостью µ вносится в однородное магнитное поле с индукцией B0 .
Найдите индукцию магнитного поля внутри и вне шара.
                                                   r
Решениее. В отсутствие токов проводимости rot H = 0 , а поскольку
 r       r                                           r
B = µ 0 µH и µ не зависит от координат, то и rot B = 0 . Это дает
возможность искать поле и вне, и внутри шара в виде суперпозиции
известных решений, удовлетворяющих этому уравнению и уравнению
    r
div B = 0 . Попробуем найти решение этой задачи в виде суммы
                         r                                  r
однородного поля         B1    и поля магнитного диполя    pm , т.е.
 v r µ  3( pr m rr ) r pr m 
B = B1 + 0           r − 3  , причем векторы В1 и pm различны для
          4π  r 5        r 
внутренней (i) и внешней (e) областей:

 v        r
 B (i ) = B1(i ) + 0 
                        (
                        r r
                               )r −
                                    r
                                            B     = B    +
                                                                 (   )
                  µ  3 pm(i )r r pm(i )  v (e ) r (e ) µ 0  3 pm(e )r r pm(e ) 
                                                                   r r
                                                                           r −
                                                                               r
                                                                                       .
                                    r 3                   4π  r 5          r 3 
                                                     1
                  4π  r 5
                                      r     r
Четыре неизвестных вектора B1(e ) , B1(e ) , pm(e ) , pm(i ) вне и внутри шара найдем из
условий на границе шара (8.9) и на бесконечности, а также из условия
ограниченности поля в центре шара. Из последнего условия следует, что
                           r                              r       r
 pm(i ) = 0 и поэтому поле B (i ) внутри шара однородно: B (i ) = B1(i ) . Так как
 r
                                                 r     r
при r → ∞ поле однородно по условию, то B1(e ) = B0 , и для решения задачи
                               r      r
осталось подобрать вектора B (i ) и p (e ) . Тогда будет:
                                        1          m


r        r        v        r           (
B (i ) = B1(i ) , B (e ) = B0(e ) + 0 
                                         r r
                                               )
                                   µ  3 pm(e )r r pm(e ) 
                                                 r −
                                                     r
                                                             .
                                   4π  r 5          r 3 

Страницы