Электродинамика. Нетребко Н.В - 168 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§9. Магнитный поток. Индуктивность
168
где r – расстояние от оси кабеля до точки, в
которой рассматривается магнитное поле
(рис.9.4). В соответствии с формулой (9.9),
объемная плотность энергии этого магнитного
поля равна
2
0
2
1
HB
2
1
Hw
M
µ
== .
(9.27)
Таким образом, для вычисления полной
энергии магнитного поля в отрезке кабеля
длины l необходимо проинтегрировать
последнее выражение в плоском слое V
0
,
охватывающем этот отрезок, причем симметрия задачи подсказывает
использование цилиндрических координат:
( )
+=
+=
+
===
∫∫
∫ ∫∫∫
∞
1
2
2
0
1
2
4
1
4
1
2
0
0
4
1
3
2
2
0
2
0
2
0 00
ln41
16
ln
4
1
4
2
2
2
)(
2
1
2
1
1
0
R
R
lI
R
R
R
R
lI
r
dr
dr
R
rI
l
rHrdrddzdVwW
R
R
R
l
V
MM
π
µ
π
µ
π
µ
π
µϕ
π
(9.28)
Относя эту энергию к длине рассматриваемого отрезка кабеля и подставляя в
получившуюся формулу численные данные из условия задачи, получаем:
+=
1
2
2
0
ln41
16 R
R
I
dl
dW
M
π
µ
≅32,5 мкДж/м. (9.29)
Пример 9.6.
Постоянный магнит в виде стержня вставлен в длинный соленоид
так, что длина находящейся в катушке части стержня намного больше диаметра
катушки. Сила тока в обмотке – I, число витков на единицу длины – n, площадь
Рис.9.4 
168                                                  §9. Магнитный поток. Индуктивность


                                               где r – расстояние от оси кабеля до точки, в
                                               которой рассматривается магнитное поле
                                               (рис.9.4). В соответствии с формулой (9.9),
                                               объемная плотность энергии этого магнитного
                                               поля равна

                                                                        1       1
                                                                 wM =     B H = µ0H 2        .
                                                                        2       2
                                                                            (9.27)
                             Таким образом, для вычисления полной
                             энергии магнитного поля в отрезке кабеля
                             длины    l  необходимо   проинтегрировать
           Рис.9.4           последнее выражение в плоском слое V0,
охватывающем этот отрезок, причем симметрия задачи подсказывает
использование цилиндрических координат:
                           l    2π        ∞
                                              1
WM =       ∫               ∫ ∫ ∫
               w M dV = dz dϕ rdr
                                              2
                                                µ 0 H (r ) 2 =
          V0               0    0         0
                                                                                                    (9.28)
      µ0             R1             
                                     R2
                                                        1 R14      R 2  µ 0 lI 2 
                                  dr  µ 0 lI                                                R2 
                                              2
               I2         r3
2πl
      2    (2π )2    ∫
                     R14
                          dr +
                                   r ∫=
                                         4π
                                                            4
                                                        4 R1
                                                               + ln     =
                                                                    R1   16π 
                                                                                   1 + 4 ln    
                                                                                             R1 
                    0         R1    
Относя эту энергию к длине рассматриваемого отрезка кабеля и подставляя в
получившуюся формулу численные данные из условия задачи, получаем:

               dWM  µ I2                     R 
                   = 0              1 + 4 ln 2  ≅32,5 мкДж/м.                      (9.29)
                dl   16π                     R1 


Пример 9.6. Постоянный магнит в виде стержня вставлен в длинный соленоид
так, что длина находящейся в катушке части стержня намного больше диаметра
катушки. Сила тока в обмотке – I, число витков на единицу длины – n, площадь

Страницы