Электродинамика. Нетребко Н.В - 18 стр.

UptoLike

§1.Электрическое поле
18
Решение.
Совместим начало координат с
одним из концов палочки, ось x0
направим вдоль палочки, а ось y0
направим так, чтобы плоскость 0
=
z
содержала точку
(
)
yxM , , в которой
вычисляется поле (рис.1.10). Таким
образом, используя симметрию поля
относительно оси x0 , сведем задачу к
двумерной. Выделим на палочке малый
элемент
ξ
d на расстоянии
ξ
от начала
координат. Вклад элемента с зарядом
ξ
κ
ddq
=
в поле согласно закону Кулона равен
( )
(
)
( )
2
2
2
2
0
4
1
cos
yx
x
yx
d
dEdE
x
+
+
==
ξ
ξ
ξ
ξ
κ
πε
α
, (1.14)
( )
( )
2
2
2
2
0
4
1
sin
yx
y
yx
d
dEdE
y
+
+
==
ξ
ξ
ξ
κ
πε
α
. (1.15)
Поле от всего заряда, распределенного по палочке, получим,
проинтегрировав (1.14) и (1.15) по
ξ
от 0 до l :
( )
+
+
=
2
222
0
11
4
ylx
yx
E
x
πε
κ
(1.16)
и
( )
+
+
=
2
222
0
4
ylx
lx
yx
x
y
E
y
πε
κ
. (1.17)
Заметим, что последние формулы можно представить в виде:
)sin(sin
4
12
0
ϕϕ
επ
κ
=
a
E
x
(1.16а)
Рис.1.10
18                                                                     §1.Электрическое поле

                                          Решение. Совместим начало координат с
                                          одним из концов палочки, ось 0 x
                                          направим вдоль палочки, а ось 0 y
                                          направим так, чтобы плоскость                          z=0
                                          содержала          точку        M ( x, y ) ,   в     которой
                                          вычисляется поле (рис.1.10). Таким
                                          образом, используя симметрию поля
                                          относительно оси 0 x , сведем задачу к
                                          двумерной. Выделим на палочке малый
           Рис.1.10                       элемент dξ на расстоянии ξ от начала
                               координат. Вклад элемента с зарядом
dq = κdξ в поле согласно закону Кулона равен

       dE x = dE cos α =
                                1
                                      ⋅
                                                κdξ
                                                           ⋅
                                                                    (x − ξ )        ,    (1.14)
                              4πε 0       ( x − ξ )2 + y 2      ( x − ξ )2 + y 2
                                1        κdξ                          y
       dE y = dE sin α =           ⋅                ⋅                               .    (1.15)
                              4πε 0 (x − ξ )2 + y 2             (x − ξ )2 + y 2
       Поле от всего заряда, распределенного по палочке, получим,
проинтегрировав (1.14) и (1.15) по ξ от 0 до l :

                                                           
               κ        1                        1         
       Ex =                  −                                                           (1.16)
              4πε 0   2   2
                                            (x − l )2     2 
                     x +y                              +y 
       и
                                                               
                κ         x                      x−l           .
       Ey =                       −                                                      (1.17)
              4πε 0 y  x 2 + y 2            (x − l )2   + y 2 
                      

       Заметим, что последние формулы можно представить в виде:
                κ
       Ex =            (sin ϕ 2 − sin ϕ1 )                                                   (1.16а)
              4π ε 0 a