Электродинамика. Нетребко Н.В - 18 стр.

18                                                                     §1.Электрическое поле

                                          Решение. Совместим начало координат с
                                          одним из концов палочки, ось 0 x
                                          направим вдоль палочки, а ось 0 y
                                          направим так, чтобы плоскость                          z=0
                                          содержала          точку        M ( x, y ) ,   в     которой
                                          вычисляется поле (рис.1.10). Таким
                                          образом, используя симметрию поля
                                          относительно оси 0 x , сведем задачу к
                                          двумерной. Выделим на палочке малый
           Рис.1.10                       элемент dξ на расстоянии ξ от начала
                               координат. Вклад элемента с зарядом
dq = κdξ в поле согласно закону Кулона равен

       dE x = dE cos α =
                                1
                                      ⋅
                                                κdξ
                                                           ⋅
                                                                    (x − ξ )        ,    (1.14)
                              4πε 0       ( x − ξ )2 + y 2      ( x − ξ )2 + y 2
                                1        κdξ                          y
       dE y = dE sin α =           ⋅                ⋅                               .    (1.15)
                              4πε 0 (x − ξ )2 + y 2             (x − ξ )2 + y 2
       Поле от всего заряда, распределенного по палочке, получим,
проинтегрировав (1.14) и (1.15) по ξ от 0 до l :

                                                           
               κ        1                        1         
       Ex =                  −                                                           (1.16)
              4πε 0   2   2
                                            (x − l )2     2 
                     x +y                              +y 
       и
                                                               
                κ         x                      x−l           .
       Ey =                       −                                                      (1.17)
              4πε 0 y  x 2 + y 2            (x − l )2   + y 2 
                      

       Заметим, что последние формулы можно представить в виде:
                κ
       Ex =            (sin ϕ 2 − sin ϕ1 )                                                   (1.16а)
              4π ε 0 a