Электродинамика. Нетребко Н.В - 197 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§11. Уравнения Максвелла
197
До сих пор не определенной является радиальная проекция вектора
E
. Найдем
ее из четвертого уравнения Максвелла (11.4). Так как
0
=
ρ
, то 0
0
=Ediv
ε
, или
0
1
)(
1
=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
z
E
E
rr
rE
r
zr
ϕ
ϕ
.
Так как напряженность поля не зависит от
ϕ
и z, то уравнение
упрощается и принимает вид ,0
)(
=
∂
∂
r
rE
r
откуда .
3
r
C
E
r
= Опять же, из
ограниченности электрического поля при r=0 следует, что C
3
=0. Поэтому,
радиальная проекция вектора
E
также равна нулю. Итак, мы нашли все три
компоненты вектора напряженности электрического поля (с точностью до
константы C
1
):
−=
1
,
2
,0E C
kr
.
Закон Ома (6.1) позволяет по известной напряженности электрического
поля найти плотность протекающего в кольце тока:
−==
1
,
2
,0 C
kr
Ej
λ
λ
λ
/
Из этого выражения видно, что константа интегрирования C
1
должна быть
равна нулю в силу ограниченности кольца (ток, текущий вдоль оси кольца, не
является замкнутым и, следовательно, не может поддерживаться). Итак, в
кольце течет кольцевой ток с плотностью, зависящей от радиуса линии тока:
( )
ϕ
λ
e
2
kr
rj −= , . (11.15) 
§11. Уравнения Максвелла                                                       197

До сих пор не определенной является радиальная проекция вектора E . Найдем
ее из четвертого уравнения Максвелла (11.4). Так как ρ = 0 , то divε 0 E = 0 , или

          1 ∂ (rE r ) 1 ∂Eϕ ∂E z
                     +      +    =0
          r ∂r         r ∂ϕ   ∂z    .


        Так как напряженность поля не зависит от           ϕ и z, то уравнение
                              ∂ (rE r )                   C
упрощается и принимает вид              = 0 , откуда E r = 3 . Опять же, из
                                 ∂r                        r
ограниченности электрического поля при r=0 следует, что C3=0. Поэтому,
радиальная проекция вектора E также равна нулю. Итак, мы нашли все три
компоненты вектора напряженности электрического поля (с точностью до
константы C1):

                 kr    
         E = 0, − , C1  .
                 2     

        Закон Ома (6.1) позволяет по известной напряженности электрического
поля найти плотность протекающего в кольце тока:

                       λkr       
         j = λ E = 0,−     , λC1  /
                        2        

Из этого выражения видно, что константа интегрирования C1 должна быть
равна нулю в силу ограниченности кольца (ток, текущий вдоль оси кольца, не
является замкнутым и, следовательно, не может поддерживаться). Итак, в
кольце течет кольцевой ток с плотностью, зависящей от радиуса линии тока:

                      λkr
         j (r ) = −         eϕ ,           .                         (11.15)
                       2

Страницы