Электродинамика. Нетребко Н.В - 200 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§11. Уравнения Максвелла
200
где m – масса электрона,
−
v
скорость электронов в сечении
x
, −
0
v начальная
скорость вылетающих с катода электронов,
(
)
−0
ϕ
потенциал катода, по
условию задачи равный нулю. Так как скорость вылетающих с катода
электронов мала по сравнению со скоростью, приобретаемой ими в поле,
положим 0
0
≈v . Тогда из закона сохранения энергии найдем
m
e
v
ϕ
2
= .
Подставляя найденное значение в выражение для
(
)
x
ρ
, а его в уравнение
Пуассона (11.16), получим для потенциала следующее дифференциальное
уравнение
2/12/1
0
2
2
2
−−
==
ϕϕ
ε
ϕ
a
e
mj
dx
d
, (11.17)
где обозначено
e
mj
a
2
0
ε
= .
Умножим левую и правую часть (11.17) на
dx
d
ϕ
и проинтегрируем,
получим
( )
Cxa
dx
d
+=
ϕ
ϕ
4
2
. (11.18)
По условию задачи катод окружен облаком электронов, а следовательно на
электрон, находящийся около катода, не действует сила, или
(
)
00 =E . Переходя
к потенциалу, получим
( )
00 =
dx
d
ϕ
. Сам потенциал на катоде по условию задачи
также равен нулю. Подставляя эти условия в (11.18), находим константу 0
=
C .
После чего (11.18) преобразуется к виду 
200                                                      §11. Уравнения Максвелла

где m – масса электрона, v − скорость электронов в сечении x , v 0 − начальная
скорость вылетающих с катода электронов, ϕ (0) − потенциал катода, по
условию задачи равный нулю. Так как скорость вылетающих с катода
электронов мала по сравнению со скоростью, приобретаемой ими в поле,
                                                                              2eϕ
положим v 0 ≈ 0 . Тогда из закона сохранения энергии найдем v =                   .
                                                                               m
Подставляя найденное значение в выражение для ρ ( x ) , а его в уравнение
Пуассона (11.16), получим для потенциала следующее дифференциальное
уравнение

          d 2ϕ          j m
               2
                   =            ϕ −1 / 2 = aϕ −1 / 2 ,              (11.17)
          dx           ε 0 2e

                           j m
где обозначено a =                   .
                          ε 0 2e
                                                           dϕ
        Умножим левую и правую часть (11.17) на               и проинтегрируем,
                                                           dx
получим
                   2
           dϕ 
               = 4a ϕ ( x ) + C .                                 (11.18)
           dx 

По условию задачи катод окружен облаком электронов, а следовательно на
электрон, находящийся около катода, не действует сила, или E (0) = 0 . Переходя
                        dϕ
к потенциалу, получим      (0) = 0 . Сам потенциал на катоде по условию задачи
                        dx
также равен нулю. Подставляя эти условия в (11.18), находим константу C = 0 .
После чего (11.18) преобразуется к виду

Страницы