Электродинамика. Нетребко Н.В - 205 стр.

UptoLike

§11. Уравнения Максвелла
205
В отличие от предыдущего примера, теперь ток проводимости не распределен
равномерно по объему поля между пластинами, а сосредоточен в узкой области
вблизи оси конденсатора.
Пример 11.6.
Обкладки плоского конденсатора имеют форму дисков радиусом
R
=10см. Пространство между обкладками заполнено однородным
диэлектриком с диэлектрической и магнитной проницаемостями
ε
и
µ
.
Конденсатор включен в цепь переменного тока tII
ω
cos
0
= . Пренебрегая
краевыми эффектами, вычислите электрическую и магнитные энергии,
локализованные в конденсаторе. Найдите отношение максимальной магнитной
к максимальной электрической энергии. При расчетах следует принять
1
=
=
µ
ε
, а частоту тока 1002 ==
πων
Гц.
Решение.
Энергия электрического поля, заключенного между обкладками
плоского конденсатора определяется выражением (5.8) и для данных задачи
равна
2
0
22
2
2
R
dQ
C
Q
W
эл
πεε
== . (11.27)
Магнитное поле в конденсаторе создается током смещения. Оно было
подсчитано в Примере 3 и задается выражением (11.24). Плотность энергии
магнитного поля задается выражением (9.9). Воспользуемся ею для
определения энергии магнитного поля в конденсаторе. Энергия поля в
цилиндрическом слое, ограниченном радиусами
r
и drr + равна
42
22
0
2
0
4
2
2
2
1
R
rIrdrd
dVHdW
маг
π
µµµµ
== . (11.28)
Интегрируя это выражение по всему объему цилиндра, получаем
§11. Уравнения Максвелла                                                205

В отличие от предыдущего примера, теперь ток проводимости не распределен
равномерно по объему поля между пластинами, а сосредоточен в узкой области
вблизи оси конденсатора.

Пример 11.6. Обкладки плоского конденсатора имеют форму дисков радиусом
R =10см. Пространство между обкладками заполнено однородным
диэлектриком с диэлектрической и магнитной проницаемостями ε и µ .
Конденсатор включен в цепь переменного тока I = I 0 cos ωt . Пренебрегая
краевыми эффектами, вычислите электрическую и магнитные энергии,
локализованные в конденсаторе. Найдите отношение максимальной магнитной
к максимальной электрической энергии. При расчетах следует принять
ε = µ = 1 , а частоту тока ν = ω 2π = 100 Гц.
Решение. Энергия электрического поля, заключенного между обкладками
плоского конденсатора определяется выражением (5.8) и для данных задачи
равна

                Q2   Q2d
       W эл =      =         .                                (11.27)
                2C 2εε 0πR 2

Магнитное поле в конденсаторе создается током смещения. Оно было
подсчитано в Примере 3 и задается выражением (11.24). Плотность энергии
магнитного поля задается выражением (9.9). Воспользуемся ею для
определения энергии магнитного поля в конденсаторе. Энергия поля в
цилиндрическом слое, ограниченном радиусами r и r + dr равна

                   1                    2d ⋅ rdr I 2 r 2
        dW маг =     µµ 0 H 2 dV = µµ 0                  .    (11.28)
                   2                       2    4π 2 R 4
Интегрируя это выражение по всему объему цилиндра, получаем