Электродинамика. Нетребко Н.В - 207 стр.

§11. Уравнения Максвелла                                                                   207

Решение. Энергия магнитного поля, заключенного в катушке, определяется
выражением (9.7), а ее индуктивность – формулой (9.15):

                    1 2 µµ 0 N πR 2
                               2 2
         W маг =      LI =         I 0 cos 2 ωt .                                (11.30)
                    2        2l
Для определения электрического поля в катушке отметим, что распределение
тока обладает цилиндрической симметрией, поэтому силовые линии
напряженности электрического поля будут окружностями, концентрическими с
витками катушки. Выберем контур C , совпадающим с одной из силовых линий
и запишем для него закон электромагнитной индукции:

                      ∂
         ∫ E dl = − ∂t ∫ BdS .                                                   (11.31)
         C                 S

Индукция магнитного поля на оси соленоида задается выражением (9.13).
Подставляя его в (11.31), получаем

                                              µµ 0ωNπr
                                                        2
                      ∂        N
         2πrE = −         µµ 0   I (t )πr 2  =          I 0 sin ωt ,
                      ∂t       l                  l

откуда

                    µµ 0ωNr
         E (r ) =              I 0 sin ωt .                                      (11.32)
                      2l
Энергия электрического поля, заключенная в катушке, может быть подсчитана
через плотность энергии (5.9). Выберем цилиндрический слой            между
цилиндрами с радиусами r и r + dr , тогда энергия электрического поля в этом
слое будет равна

                      1              εε µ 2 µ 02ω 2 N 2 2 2
         dW элек =      εε 0 E 2 dV = 0        2
                                                       r I 0 sin 2 ωt 2πrdrl .
                      2                    8l