Электродинамика. Нетребко Н.В - 220 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§12. Электрические цепи. Правила Кирхгофа
220
U
dt
dI
L
R
U
I
dt
dU
CI ===
3
21
,, . (12.12)
Продифференцировав уравнение (12.11) и подставив в него производные
токов, полученные из (12.12), запишем:
0//'"
=
+
+
LURUCU
, или
02
2
0
2
2
=++ U
dt
dU
dt
Ud
ωδ
, (12.13)
где LCRC /1,/12
2
0
==
ωδ
.
Общее решение этого уравнения имеет вид:
(
)
(
)
(
)
[
]
tBtAtU
ω
ω
δ
sincosexp
+
−
=
, (12.14)
где
22
0
δωω
−= , RC2/1
=
δ
, LC/1
0
=
ω
.
Постоянные
A
и
B
находятся из начальных условий. По условию
задачи
(
)
00
=
U . Для нахождения
(
)
0'U заметим, что
(
)
00
3
=
I , так как ток
через индуктивность не претерпевает скачков. Поэтому при 0
=
t ток
21
II
−
=
, а RUI /
02
=
. Таким образом,
(
)
(
)
RCUCIU //00'
01
−
=
=
.
Используя эти значения, находим:
ω
δ
/,
00
UBUA
−
=
=
. Откуда
окончательно:
( ) ( ) ( )
−−= tttUU
ω
ω
δ
ωδ
sincosexp
0
.
Пример 12.4. Найдите полный заряд,
протекающий во вторичной цепи
трансформатора после замыкания
ключа (см. схему на рис.12.6).
Решение. Уравнения для двух
контуров, содержащихся в схеме, будут:
dt
dI
LEIR
dt
dI
L
2
1211
1
1
+=+ , (12.15)
Рис.12.6 
220                                      §12. Электрические цепи. Правила Кирхгофа

                    dU                 U          dI 3
          I1 = C       ,        I2 =     ,    L        =U .                     (12.12)
                    dt                 R           dt

Продифференцировав уравнение (12.11) и подставив в него производные
токов, полученные из (12.12), запишем: CU "+U ' / R + U / L = 0 , или

          d 2U            dU
               2
                   + 2δ       + ω 02U = 0 ,                                     (12.13)
          dt               dt

где 2δ = 1 / RC , ω 02 = 1 / LC .
         Общее решение этого уравнения имеет вид:

         U = exp(− δt )[A cos(ωt ) + B sin (ωt )] ,                             (12.14)

где ω = ω 02 − δ 2 , δ = 1 / 2 RC , ω 0 = 1 / LC .
Постоянные A и B          находятся из начальных условий. По условию
задачи U (0) = 0 . Для нахождения U ' (0 ) заметим, что I 3 (0 ) = 0 , так как ток
через индуктивность не претерпевает скачков. Поэтому при t = 0 ток
I 1 = − I 2 , а I 2 = U 0 / R . Таким образом, U ' (0 ) = I1 (0 ) / C = −U 0 / RC .
Используя эти значения, находим: A = U 0 ,             B = −δU 0 / ω . Откуда
окончательно:

                            δ         
U = U 0 exp(− δt )cos(ωt ) − sin (ωt ) .
                            ω         

Пример 12.4. Найдите полный заряд,
протекающий во вторичной цепи
трансформатора после замыкания
ключа (см. схему на рис.12.6).
Решение.     Уравнения     для   двух                          Рис.12.6
контуров, содержащихся в схеме, будут:

               dI1                   dI
          L1       + R1 I 1 = E + L12 2 ,                                       (12.15)
               dt                     dt

Страницы