Электродинамика. Нетребко Н.В - 262 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§14. Задачи повышенной трудности
262
конденсатора
( )
xC
q
2
2
и энергии конденсатора без пластинки
0
2
2C
q
. Емкость
конденсатора можно представить как емкость двух параллельно соединенных
конденсаторов:
( )
(
)
( )
xxl
d
a
d
ax
d
xla
xC
εε
εεεε
−+=+
−
=
000
.
Функция Лагранжа для диэлектрической пластины примет вид
xxla
dq
C
q
x
l
mg
xm
L
εεε
−+
−+
++=
1
2222
0
2
0
22
&
,
откуда получим уравнение Лагранжа
( )
0
1
2
2
0
2
=
−+
−
−−
xxl
a
dq
mgxm
εε
ε
ε
&&
.
Выражение для функции Лагранжа и уравнение Лагранжа справедливы для
lx
≤
. Если lx
>
(пластина полностью выпала из конденсатора), то энергия
электростатического поля в пластине равна нулю, а уравнение Лагранжа
принимает вид
mgxm
=
&&
.
Положение равновесия пластины определяется условием 0
=
x
&&
, откуда
(
)
amg
d
qlx
0
0
2
1
1
ε
ε
ε
ε
−
−
−
= .
Оно существует, если lx ≤
0
, или
( )
3
0
1−≤
ε
E
mgl
. 
262                                                              §14. Задачи повышенной трудности

                    q2                                           q2
конденсатора               и энергии конденсатора без пластинки      . Емкость
                   2C (x )                                      2C 0
конденсатора можно представить как емкость двух параллельно соединенных
конденсаторов:

                   εε 0 a(l − x )       ε 0 ax       ε0a
        C (x ) =                    +            =         (εl + x − εx ) .
                         d                d          d
Функция Лагранжа для диэлектрической пластины примет вид

             mx& 2      l     q
                                    2
                                         q 2d        1
        L=         + mg  + x  +      −                    ,
              2          2      2C 0   2ε 0 a εl + x − εx

откуда получим уравнение Лагранжа

                       q 2d        1− ε
        m&x& − mg −                           =0.
                       2ε 0 a (εl + x − εx )2

Выражение для функции Лагранжа и уравнение Лагранжа справедливы для
 x ≤ l . Если x > l (пластина полностью выпала из конденсатора), то энергия
электростатического поля в пластине равна нулю, а уравнение Лагранжа
принимает вид m&x& = mg .
        Положение равновесия пластины определяется условием &x& = 0 , откуда

                 ε      d (ε − 1)
        x0 =        l−q           .
               ε −1     2ε 0 amg

Оно существует, если x0 ≤ l , или

         mgl
             ≤ (ε − 1)3 .
         E0

Страницы