Электродинамика. Нетребко Н.В - 272 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§14. Задачи повышенной трудности
272
Подставляя в (14.4) x
L
Bl
I −=
1
, а
I
во второй закон Ньютона (14.1), находим
уравнение движения перемычки
(
)
(
)
gx
mL
Bl
dt
dx
mR
Bl
dt
xd
=−+
22
2
2
. (14.5)
Новое положение равновесия перемычки найдем, положив в (14.5)
0=
′
=
′
′
xx
( )
2
0
Bl
gmL
x = .
Решение уравнения (14.5) определяется корнями его
характеристического уравнения
(
)
(
)
0
22
2
=−+
mL
Bl
mR
Bl
λλ
.
1. Если
(
)
L
mR
Bl 1
4
2
2
< ,
то корни комплексно сопряженные
ωδλ
i±−=
2,1
,
где
(
)
(
)
(
)
22
42
2
2
4
,
2
Rm
Bl
mL
Bl
mR
Bl
−==
ωδ
.
Общее решение уравнения (14.5) в этом случае
( )
( )
[ ]
tCtAt
Bl
mgL
x
ωωδ
sincosexp
2
+−+= .
Константы А и С находим из начальных условий: в момент 0
=
t координата
(
)
,00
x
(
)
00
′
x
, (14.6) 
272                                                               §14. Задачи повышенной трудности

                         Bl
Подставляя в (14.4) I1 = −  x , а I во второй закон Ньютона (14.1), находим
                         L
уравнение движения перемычки

          d 2x
                   +
                        (Bl )2dx (Bl )2
                                 −      x=g.                                          (14.5)
           dt 2            mR dt   mL

            Новое положение равновесия перемычки найдем, положив в (14.5)
x ′′ = x ′ = 0

                      gmL
          x0 =                 .
                      (Bl )2
        Решение     уравнения                          (14.5)      определяется    корнями     его
характеристического уравнения

          λ2 +
                   (Bl )2 λ − (Bl )2        = 0.
                      mR              mL

1. Если
          (Bl )2       <
                           1
                             ,
                  2        L
          4mR

то корни комплексно сопряженные λ1, 2 = −δ ± iω ,


где δ =
          (Bl )2 ,             ω2 =
                                      (Bl )2   −
                                                    (Bl )4    .
          2mR                          mL          4m 2 R 2
Общее решение уравнения (14.5) в этом случае

                  mgL
          x=                + exp(− δt )[A cos ωt + C sin ωt ] .
                  (Bl )2
Константы А и С находим из начальных условий: в момент t = 0 координата

          x(0) = 0, x′(0) = 0 ,                                                       (14.6)

Страницы