Электродинамика. Нетребко Н.В - 273 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§14. Задачи повышенной трудности
273
или
( )
CAA
Bl
mgL
ωδ
+−=+= 0,0
2
.
Откуда окончательно
( )
( )
+⋅−−= ttt
Bl
mgL
x
ω
ω
δ
ωδ
sincosexp1
2
.
2. Если
(
)
L
mR
Bl 1
4
2
2
> ,
то корни характеристического уравнения действительные
2
2
2
1
,
ωδλωδλ
−−−=−+−= , а общее решение уравнения (14.5) с
начальными условиями (14.6) имеет вид
( )
( ) ( )
−+= ttA
Bl
mgL
x
2
2
1
1
2
expexp
λ
λ
λ
λ
,
где
( ) ( )
2
2
2
1
21
2
2
,,
ωδλωδλ
λλ
λ
−−−=−+−=
+
=
Bl
mgL
A
.
При
( )
2
Bl
mgL
xt →∞→ .
Таким образом,
если
(
)
L
mR
Bl 1
4
2
2
< , то
( )
( )
+⋅−−= ttt
Bl
mgL
x
ω
ω
δ
ωδ
sincosexp1
2
,
где
(
)
(
)
(
)
22
42
2
2
4
,
2
Rm
Bl
mL
Bl
mR
Bl
−==
ωδ
. 
§14. Задачи повышенной трудности                                                                      273


                mgL
или       0=                 + A,              0 = −δA + ωC .
               (Bl )2
Откуда окончательно

                mgL                             δ        
          x=        2 
                       1 − exp(− δt ) ⋅ cos ω t + sin ω t  .
               (Bl )                            ω        


2. Если
          (Bl )2     >
                         1
                           ,
                2        L
          4mR
то        корни                   характеристического                уравнения          действительные
λ1 = −δ + − ω 2 ,                  λ 2 = −δ − − ω 2 , а общее решение уравнения (14.5) с
начальными условиями (14.6) имеет вид

                mgL                        λ             
          x=                 + Aexp(λ1t ) − 1 exp(λ 2 t ) ,
               (Bl )     2
                                           λ2            

               mgLλ 2
где A =                             ,          λ1 = −δ + − ω 2 ,      λ 2 = −δ − − ω 2 .
          (Bl ) (λ1 + λ2 )
               2


                                  mgL
При t → ∞             x→                   .
                                  (Bl )2
Таким образом,

          если
                     (Bl )2       <
                                        1
                                          , то x =
                                                    mgL                             δ        
                                                           1 − exp(− δt ) ⋅ cos ω t + sin ω t  ,
                                                          
                     4mR      2         L          (Bl ) 
                                                        2
                                                                                     ω        


где δ =
          (Bl )2 ,           ω2 =
                                         (Bl )2   −
                                                       (Bl )4    .
          2mR                              mL         4m 2 R 2

Страницы