Электродинамика. Нетребко Н.В - 28 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§2.Потенциал электрического поля
28
При lr
>>
выражение (2.10) упрощается, так как
(
)
(
)
rlrrr 2/⋅−≈
+
и
(
)
(
)
rlrrr 2/⋅+≈
−
:
( )
(
)
(
)
3
0
3
0
44 r
pr
r
lrq
M
e
πεπε
ϕ
⋅
=
⋅
= (2.11)
Здесь lqp
e
⋅= дипольный момент диполя.
Напряженность поля по известному потенциалу найдем согласно
(2.7). Применяя к (2.11) формулы векторного анализа (см. Приложение )
получим:
(
)
3
0
3
0
4
0
3
4
1
44
3
r
pnnp
r
p
n
r
xp
E
e
eee
−⋅
⋅=−=
πε
πεπε
. (2.12)
Пример 2.3. Определите силу, действующую на точечный диполь с
дипольным моментом
e
p в неоднородном электрическом поле
(
)
rE .
Решение.
Рассмотрим диполь малого, но конечного размера (см. рис.2.1).
Проекция силы, действующей на диполь, на ось x0 равна
(
)
(
)
[
]
0,0,2/0,0,2/ lElEqF
xxx
−
−
=
. Раскладывая в ряд Тейлора
напряженность поля в окрестности начала координат, получим
(
)
(
)
x
e
x
x
x
EpElql
x
E
qF ∇⋅=∇⋅=
∂
∂
=
, где
z
k
y
j
x
i
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=∇
.
Аналогично выводятся соотношения для
(
)
yey
EpF ∇⋅=
и
(
)
zez
EpF ∇⋅= .
Полученные скалярные равенства можно объединить в одно векторное
(
)
EpF
e
∇⋅=
. (2.13)
Пример 2.4. Найдите энергию взаимодействия W двух диполей,
находящихся на расстоянии
i
lr
>>
(
−
i
l
размер
−
i го диполя) друг от
друга. Дипольные моменты диполей
1
p и
2
p . 
28                                                                    §2.Потенциал электрического поля

При r >> l выражение (2.10) упрощается, так как r+ ≈ r − r ⋅ l / (2r )                        ( )              и

               ( )
     r− ≈ r + r ⋅ l / (2r ) :


             ϕ (M ) =
                                ( ) = (r ⋅ p )
                           q r ⋅l                      e
                                                                                                  (2.11)
                          4πε 0 r 3         4πε 0 r 3

Здесь p e = q ⋅ l дипольный момент диполя.
         Напряженность поля по известному потенциалу найдем согласно
(2.7). Применяя к (2.11) формулы векторного анализа (см. Приложение )
получим:


             E=
                       3 pe x
                                    n−
                                           pe
                                                       =             ⋅
                                                                      (     )
                                                                 1 3 p e ⋅ n n − pe
                                                                                    .             (2.12)
                      4πε 0 r   4
                                         4πε 0 r   3           4πε 0       r3


Пример 2.3. Определите силу, действующую на точечный диполь с
дипольным моментом p e в неоднородном электрическом поле E r .                                    ()
Решение. Рассмотрим диполь малого, но конечного размера (см. рис.2.1).
Проекция силы, действующей на диполь, на ось 0 x равна
Fx = q[E x (l / 2,0,0 ) − E x (− l / 2,0,0)] .                      Раскладывая         в   ряд        Тейлора
напряженность поля в окрестности начала координат, получим
      ∂E
                          ( )
Fx = q x l = q l ⋅ ∇ E x = p e ⋅ ∇ E x ,
       ∂x
                                           (
                                         где
                                                    ∂
                                              ∇=i + j
                                                    ∂x
                                                         ∂
                                                         ∂y
                                                           )  ∂
                                                            +k .
                                                              ∂z
Аналогично выводятся соотношения для F y = p e ⋅ ∇ E y и Fz = pe ⋅ ∇ E z .   (     )               (       )
Полученные скалярные равенства можно объединить в одно векторное

                  (
             F = pe ⋅∇ E .  )                                                                     (2.13)


Пример 2.4. Найдите энергию взаимодействия                                              W   двух диполей,
находящихся на расстоянии r >> li ( l i − размер i − го диполя) друг от

друга. Дипольные моменты диполей p1 и p 2 .

Страницы