Электродинамика. Нетребко Н.В - 30 стр.

30                                                                         §2.Потенциал электрического поля


        dϕ =
                              dq
                                                   =
                                                           (Q   2π )dψ
                                                                               .
               4πε 0 a 2 + z 2                         4πε 0 a 2 + z 2

Интегрируя по ψ от 0 до 2π , окончательно получаем

                          Q
        ϕ=                                 .                                                              (2.15)
             4πε 0 a 2 + z 2

Используя (2.7), находим напряженность на оси кольца
                       ∂ϕ   Q         z
        Ez = −            =    ⋅                                       ,
                       ∂z 4πε 0 a 2 + z 2      (                )
                                                                3/ 2



что совпадает с выражением (1.10), полученным ранее в параграфе 1.

Пример 2.6. Диск радиусом a заряжен с поверхностной плотностью σ .
Найдите потенциал в произвольной точке на оси диска, перпендикулярной к
его плоскости.
Решение. Разобьем диск на кольца радиусом ρ и толщиной dρ . На таком
кольце находится заряд dq = σ 2πρ ⋅ dρ . Потенциал на оси такого кольца
найден ранее в примере 5 данного параграфа и задается выражением (2.15)

                                   dq                                  σ
        dϕ ( z ) =                                     =                           ρ ⋅ dρ .
                       4πε 0 ρ + z     2           2
                                                           2ε 0 ρ 2 + z 2

Интегрируя это выражение по                            ρ   от 0 до         a получим
                   a
                               σ                                 σ  2          
        ϕ (z ) =   ∫ 2ε                            ρ dρ =                   2
                                                                      a + z − z .                       (2.16)
                               ρ +z2           2                2ε 0           
                   0      0


                                                                                              σa 2     Q
При z → ∞ выражение (2.16) принимает вид ϕ (z ) →                                                   =        , то есть
                                                                                              4ε 0 z 4πε 0 z
совпадает с полем точечного заряда Q = πσa 2 .