Электродинамика. Нетребко Н.В - 46 стр.

46                    §3.Проводники и диэлектрики в электрическом поле

Согласно теореме Гаусса этот поток равен заряду, заключенному внутри
выбранной сферы. Этот заряд различен, если точка М находится внутри или
вне сферы:


           4
            3 πρr ,
                  3
                                 r≤R
         q=              если       .
             4
            πρR 3 ,             r>R
           3

Применяя теорему Гаусса, находим индукцию электрического поля

              ρr
                    ,          r ≤ R,
         D =  33         если          .
               ρR r ,           r>R
               3r 3


Поскольку D = εε 0 E , то напряженность поля будет равна

            ρr
                   ,
            3εε 0               r ≤ R,
         E=              если              .                   (3.9)
            ρR r ,               r>R
                 3

            3ε r 3
            0

Напряженность и потенциал поля связаны соотношением (2.3), то есть
     r

     ∫
ϕ = − Edr . Потенциал бесконечно удаленной точки примем равным нулю.
     ∞
Проведя интегрирование, получим

             ρR 2
                  +
                      ρ
             3ε 0 6εε 0
                           (R2 − r2 ,)                 r≤R
         ϕ =                                   если       .
                    ρR 3                              r>R
                            ,
                   3ε 0 r