Электродинамика. Нетребко Н.В - 74 стр.

74                                         §4. Уравнения электростатики

где r −    расстояние от центра шара до точки, в которой ищется
напряженность поля.

Пример 4.8. Шар радиусом R , вырезанный из однородного диэлектрика с
диэлектрической проницаемостью      ε , помещают в однородное
электрическое поле напряженности        E 0 . Найдите распределение
напряженности и потенциала в пространстве внутри и вокруг шара.
Решение. Все пространство разделим на две области: V1 -- внутри шара, V2
-- вне шара. Потенциал и напряженность поля в области V1 будем
обозначать индексом 1, а в области V2 -- индексом 2. Так как свободных
зарядов ни внутри, ни вне шара нет, то потенциал как внутри, так и снаружи
шара подчиняется уравнению Лапласа ∆ϕ i = 0 ( i = 1,2 ), которое следует из
уравнения Пуассона (4.5), если ρ ≡ 0 .
        Так как граница шара - сфера, то удобно воспользоваться
сферической системой координат. Запишем уравнение Лапласа в этой
системе координат:

 1  ∂  2 ∂ϕ   1 ∂        ∂ϕ     1 ∂ 2ϕ 
  2  ∂r
         r    +      sin θ    +               = 0.         (4.25)
r   ∂r  sin θ ∂θ         ∂θ  sin 2 θ ∂ψ 2 

Отметим, что в силу симметрии потенциалы ϕ i не зависят от угла ψ .