Электродинамика. Нетребко Н.В - 75 стр.

§4. Уравнения электростатики                                                                     75

        Простейшими решениями уравнения (4.25), не зависящими от угла
                                 cosθ
ψ , являются функции Ar cos θ и B 2 (см.[1]), где A и B -- постоянные.
                                  r
Для потенциала электростатического
поля получаем выражение

                                       Bi 
         ϕ i (r ,θ ) = cos θ  Ai r +      .
                                       r2 
                                           (4.26)
        Внутри    шара  свободные
заряды отсутствуют и поле во всех
точках внутри шара ограничено и
поэтому       B1 = 0 .  Используя
соотношение (4.4) в сферической
системе координат (единичные вектора
e r , eθ , eψ показаны на рис.4.6)                                       Рис.4.6

                   ∂ϕ                        1 ∂ϕ                           1 ∂ϕ
         Er = −       ,             Eϑ = −        ,          Eψ = −                 ,
                   ∂r                        r ∂θ                        r sin θ ∂ψ

найдем напряженность электрического поля внутри и вне шара:
в области V1 :

         E1r = − A1 cos θ ,              E1θ = sin θ A1 ,            E1ψ = 0 ,          (4.27)

и в области V2 :

                2B                                 B     
E 2 r =  − A2 + 32    cos θ ,       E 2θ =  A2 + 32    sin θ ,     E 2ψ = 0 . (4.28)
                 r                                 r      

        Из условия, что на бесконечности поле однородно и равно E 0
следует, что

                    E 2 r (r → ∞ ) = − A2 cosθ = E0 cos θ ,




                                                75