Электродинамика. Нетребко Н.В - 76 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§4. Уравнения электростатики
76
или
02
EA
−
=
.
Постоянные
1
A и
2
B найдем, записав граничные условия (4.6) на
границе шара
(
)
(
)
(
)
(
)
θ
θ
θ
θ
ε
θθ
,,,,,
2121
RERERERE
rr
=
=
,
откуда следует
3
2
011
3
2
0
,
2
R
B
EAA
R
B
E +−=−=+
ε
. (4.29)
Решение системы уравнений (4.29) имеет вид
0
3
201
2
1
,
2
3
ERBEA
ε
ε
ε
+
−
=
+
−=
. (4.30)
Поэтому окончательно потенциал в области
1
V равен
ϑ
ε
ϕ
cos
2
3
01
rE
+
−= , (4.31)
и напряженность поля
0,sin
2
3
,cos
2
3
10101
=
+
−=
+
=
ψθ
θ
ε
θ
ε
EEEEE
r
. (4.32)
Видим, что поле внутри шара является однородным , направлено вдоль
0
E ,
и равно по абсолютной величине
2
3
0
+
=
ε
E
E
v
v
,
2
3
0
+
=
ε
ε
D
D
v
v
. (4.33)
В области
2
V потенциал равен
θ
ε
ε
ϕ
cos
2
1
2
3
02
−
+
−
= r
r
R
E
, (4.34) 
76                                                    §4. Уравнения электростатики

или                  A2 = − E 0 .

       Постоянные A1 и B2 найдем, записав граничные условия (4.6) на
границе шара

        εE1r (R,θ ) = E 2 r (R,θ ),          E1θ (R, θ ) = E 2θ (R,θ ) ,

откуда следует

                2 B2                                  B2
        E0 +           = −εA1 ,        A1 = − E 0 +        .                      (4.29)
                R3                                    R3
Решение системы уравнений (4.29) имеет вид
                  3                          ε −1 3
        A1 = −       E0 ,             B2 =       R E0 .                           (4.30)
                 2+ε                         2+ε

Поэтому окончательно потенциал в области V1 равен

                  3
        ϕ1 = −       E 0 r cos ϑ ,                                                (4.31)
                 2+ε

и напряженность поля

                 3                                 3
        E1r =       E 0 cos θ ,        E1θ = −        E 0 sin θ ,          E1ψ = 0 . (4.32)
                2+ε                               2+ε
Видим, что поле внутри шара является однородным , направлено вдоль E 0 ,
и равно по абсолютной величине
               v                     v
         v 3E 0                v 3 ε D0
         E=       ,            D=       .                                         (4.33)
             ε +2                 ε +2
       В области V2 потенциал равен


                   ε − 1 R3      
        ϕ 2 = E 0        2
                             − r  cosθ ,                                        (4.34)
                  2+ε r          

Страницы