Тепловые процессы в технологической системе резания. Неумоина Н.Г - 30 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КТИ ВолгГТУ | Камышин

Составители: 

Рубрика: 

30
риала приняты не зависящими от температуры. Количество тепла
Q(z
u
)
можно представить в виде:
Q(z
u
) = Q
1
⋅
f(z
u
), (4.6)
где f (z
u
) – закон тепловыделения по длине источника. Итак:
()
()
(
)
()
()
()
u
2
u
z
z
u
2
u
2
u
2/3
1
dz
a4
zz
expzf
a4
yyxx
exp
4a
Q
,z,y,xt
2u
1u
⋅
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−
⋅×
×
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−+−
−⋅
⋅⋅
=
∫
τ
τ
πτλ
τ
. (4.7)
Применим это выражение к расчету температурного поля в задаче
01
00.001
110
т. е. при источнике одномерном, неограниченном, распреде-
ленном вдоль оси
Z. Для него f(z
u
) = 1, z
u1
= -
∞
; z
u2
= +
∞
. Используя под-
становку:
τ
a4
zz
u
u
−
=
, (4.8)
и интеграл вероятности Гаусса:
[]
() ()
[]
∫
⋅−⋅⋅=⋅−
2u
1u
12
22
pupu
p2
duupexp
ΦΦ
π
, (4.9)
причем
Ф(0) = 0; Ф(-
∞
) = - 1; Ф(+
∞
) = 1:
1p,a4dudz
u
=⋅=
τ
,
[
]
∫
∞+
∞−
=⋅⋅=⋅−
τπ
π
ττ
a42
2
a4a4duuexp
2
, (4.10)
тогда выражение для температуры преобразуется к виду:
()
()()
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−+−
−⋅=
τπλτ
τ
a4
yyxx
exp
4
Q
,y,xt
2
u
2
u
1
(4.11)
Как видно из этой формулы, температурное поле для одномерного неогра-
ниченного источника не зависит от координаты
z, т.е. оказывается плоским. Это
соответствует физике процесса, поскольку при неограниченной длине равно-
мерно распределенного источника отсутствует переток теплоты вдоль оси
Z.
По аналогии с вышеизложенным для двумерного источника получим:
()
(
)
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−⋅
⋅⋅
⋅
=
τ
πτλ
τ
a4
yy
exp
2
aQ
,yt
2
u
2
. (4.12)
То есть температурное поле в этой задаче при равномерном распре-
делении источника не зависит от координат
X и Z. Это значит, что в ка-
ком бы месте мы не выделили из неограниченного тела 1 стержень 3, па-
риала приняты не зависящими от температуры. Количество тепла Q(zu)
можно представить в виде:
                                            Q(zu) = Q1 ⋅ f(zu),                         (4.6)
где f (zu) – закон тепловыделения по длине источника. Итак:

           t (x , y , z , τ ) =
                                        Q1                (
                                                     ⋅ exp⎢−
                                                                  )
                                                          ⎡ x − xu 2 + ( y − yu )2 ⎤
                                                                                   ⎥×
                                λ ⋅ a ⋅ (4πτ )3 / 2       ⎢⎣        4 aτ           ⎥⎦
                                                                                      . (4.7)
              zu 2               ⎡ (z − zu )2 ⎤
           × ∫ f (zu ) ⋅ exp⎢                 ⎥ ⋅ dzu
              zu 1               ⎢⎣ 4 aτ ⎥⎦
     Применим это выражение к расчету температурного поля в задаче
  110
        01 т. е. при источнике одномерном, неограниченном, распреде-
 001.00
ленном вдоль оси Z. Для него f(zu) = 1, zu1 = - ∞; zu2 = + ∞. Используя под-
становку:
                                                   z − zu
                                             u=            ,                            (4.8)
                                                     4 aτ
     и интеграл вероятности Гаусса:
                        u2
                         ∫
                        u1
                                [         ]
                             exp − p 2 u 2 ⋅ du =
                                     2p
                                                    π
                                        ⋅ [Φ ⋅ ( pu 2 ) − Φ ⋅ ( pu1 )] ,               (4.9)

     причем Ф(0) = 0; Ф(-∞) = - 1; Ф(+∞) = 1:
                                    dzu = du ⋅ 4 aτ , p = 1 ,
                +∞
                 ∫
                −∞
                        [ ]
                     exp − u 2 ⋅ du 4 aτ = 4 aτ ⋅
                                                         π
                                                          2
                                                              ⋅ 2 = 4πaτ ,  (4.10)

     тогда выражение для температуры преобразуется к виду:
                                  Q1          ⎡ (x − xu )2 + ( y − yu )2 ⎤
               t (x , y ,τ ) =          ⋅ exp ⎢−                         ⎥  (4.11)
                                4πλτ          ⎢⎣            4 aτ         ⎥⎦
     Как видно из этой формулы, температурное поле для одномерного неогра-
ниченного источника не зависит от координаты z, т.е. оказывается плоским. Это
соответствует физике процесса, поскольку при неограниченной длине равно-
мерно распределенного источника отсутствует переток теплоты вдоль оси Z.
     По аналогии с вышеизложенным для двумерного источника получим:
                                    Q2 ⋅ a             ⎡ ( y − yu )2 ⎤
                      t ( y ,τ ) =               ⋅ exp ⎢−            ⎥.     (4.12)
                                   2 ⋅ λ ⋅ πτ          ⎢⎣     4 aτ ⎥⎦
    То есть температурное поле в этой задаче при равномерном распре-
делении источника не зависит от координат X и Z. Это значит, что в ка-
ком бы месте мы не выделили из неограниченного тела 1 стержень 3, па-
                                               30

Страницы