Тепловые процессы в технологической системе резания. Неумоина Н.Г - 34 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КТИ ВолгГТУ | Камышин

Составители: 

Рубрика: 

34
[]
uK2
w
u
wexp
w
dw
0
2
0
=
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
+−⋅
∫
∞
, (4.25)
где К
0
[u] – модифицированная функция Бесселя от мнимого аргумента
второго рода, нулевого порядка. С погрешностью, не выходящей за пре-
делы 5 % можно полагать, что:
[] []
uexp
u2
uK
m
0
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
≈
π
, (4.26)
причем
m = 0,342 + 0,053u при 0 ≤ u ≤ 3 и m = 0,5 при u > 3.
От выражения
(4.24) можем перейти к формуле для описания темпера-
турного поля в задаче
01
12.101
211
для полосового источника, движущегося с
любой скоростью по оси
О
1
Х. Если какой-либо из одномерных источников,
образующих полосовой, имеет абсциссу
X
u
, то расстояние от него до точки
М(х, у) тела равно
()
2
2
u
yxx +− . Поэтому переходя от одномерного ис-
точника к полосовому с равномерным тепловыделением
q
2
, запишем:
()
()
u
2
2
u
0
l
0
u
2
dx
a2
yxxv
K
a2
xxv
exp
2
q
)y,x(t ⋅
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
+−⋅
⋅
−
⋅=
∫
πλ
(4.27)
Используем далее безразмерные координаты:
lll
y
v;
x
;
x
u
u
===
ψψ
,
где
ℓ - длина источника в направлении движения. Если
a
v
Pe
l⋅
=
, то полу-
чим:
()
νψ
πλ
,T
2
q
)y,x(t
2
⋅
l
, (4.28)
где:
() ()
u
2
2
u0
1
0
u
d
2
Pe
K
2
Pe
exp),(T
ψνψψψψνψ
⋅
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+−⋅⋅
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−⋅=
∫
. (4.29)
Значения
Т(
ψ
,v) при конкретных значениях Рe,
ψ
, v определяют ка-
ким либо из способов приближенного вычисления интегралов. Для реше-
ния вопроса о температуре точек тела, лежащих в плоскости
ХО
1
Z (ν = 0)
можно в качестве первого приближения воспользоваться выражением для
К
0
[
u
]
. Например, наибольшее значение функции Т(
ψ
, v) = Т(1, 0) = Т
max
можем получить положив
u = 0,5Рe(
ψ
-
ψ
u
) и приняв некоторое среднее 
                                    ⎡
                                 ∞ dw        u2 ⎤
                         ∫    ⋅ exp ⎢  − w +    ⎥ = 2 K0 [u ] , (4.25)
                         0 w        ⎢⎣       w ⎥⎦
где К0 [u] – модифицированная функция Бесселя от мнимого аргумента
второго рода, нулевого порядка. С погрешностью, не выходящей за пре-
делы 5 % можно полагать, что:
                                                    m
                                        ⎛π ⎞
                             K 0 [u ] ≈ ⎜ ⎟ exp [− u ] ,          (4.26)
                                        ⎝ 2u ⎠
причем m = 0,342 + 0,053u при 0 ≤ u ≤ 3 и m = 0,5 при u > 3.
    От выражения (4.24) можем перейти к формуле для описания темпера-
                       211
турного поля в задаче        01 для полосового источника, движущегося с
                      101.12
любой скоростью по оси О1Х. Если какой-либо из одномерных источников,
образующих полосовой, имеет абсциссу Xu, то расстояние от него до точки
М(х, у) тела равно        (x − xu )2 + y 2 . Поэтому переходя от одномерного ис-
точника к полосовому с равномерным тепловыделением q2, запишем:
                                                   ⎡ v ⋅ (x − x )2 + y 2 ⎤
                     q2 l        v (x − xu )
       t( x , y ) =     ⋅ ∫ exp               ⋅ K0 ⎢           u         ⎥ ⋅ dxu       (4.27)
                    2πλ 0            2a            ⎢         2a          ⎥
                                                   ⎣                     ⎦
     Используем далее безразмерные координаты:
                                      x             x          y
                               ψ = ; ψu = u ; v = ,
                                      l              l         l
                                                                              v⋅l
где ℓ - длина источника в направлении движения. Если Pe =                         , то полу-
                                                                                a
чим:
                                               q l
                                    t( x , y ) 2 ⋅ T (ψ ,ν ) ,                         (4.28)
                                              2πλ
где:
                      1     ⎡ Pe               ⎤     ⎡ Pe                     ⎤
         T (ψ ,ν ) = ∫ exp⎢ ⋅ (ψ −ψ u )⎥ ⋅ K 0 ⎢ ⋅ (ψ −ψ u )2 +ν 2 ⎥ ⋅ dψ u . (4.29)
                      0     ⎣2                 ⎦     ⎣2                       ⎦
    Значения Т(ψ,v) при конкретных значениях Рe, ψ, v определяют ка-
ким либо из способов приближенного вычисления интегралов. Для реше-
ния вопроса о температуре точек тела, лежащих в плоскости ХО1Z (ν = 0)
можно в качестве первого приближения воспользоваться выражением для
К0[u]. Например, наибольшее значение функции Т(ψ, v) = Т(1, 0) = Тmax
можем получить положив u = 0,5Рe(ψ - ψu) и приняв некоторое среднее

                                            34

Страницы